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Presentation du cours

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Nous présentons dans ce cours quelques outils mathématiques qui interviennent de manière systématique dans de nombreux problèmes de modélisation en neurosciences. Les prérequis sont une bonne connaissance du calcul différentiel et du calcul des probabilités dans le cadre de la théorie de la mesure. Sans trahir la rigueur mathématique, le cours s'efforcera de mettre en valeur l'applicabilité aux neurosciences des concepts présentés. Le cours sera complété par des séances d'exercices.

We present a number of mathematical tools that are central to modeling in neuroscience. The prerequisites to the course are a good knowledge of differential calculus and probability theory from the viewpoint of measure theory. The thrust of the lectures is to show the applicability to neuroscience of the mathematical concepts without giving up mathematical rigor. The concepts presented in the lectures will be illustrated by exercise sessions.

• Modèles mésoscopiques de certaines structures corticales: structure anatomique du cortex visuel (aire V1), architecture fonctionnelle de V1, modèles de champs neuronaux.
  Mesoscopic models of visual cortical areas: anatomical structure of the visual cortex (V1), functional architecture of V1, neural fields models.
• Introduction aux systèmes dynamiques: orbites et portraits de phases, variétés invariantes, équivalence de systèmes dynamiques, classification topologique des équilibres, stabilité structurelle, variété centrale en dimension finie.
  Introduction to dynamic systems: orbits and phase portraits, invariant manifolds, equivalence of dynamic systems, topological classification of equilibria, structural stability, center manifold in finite dimension.
• Introduction à la théorie des bifurcations: dimension 1 (noeud-selle, transcritique, fourche), dimension 2 (Hopf), variété centrale, forme normale, bifurcations équivariantes.
  Introduction to bifurcation theory: dimension 1 (saddle-node, transcritical, pitchfork), dimension 2 (Hopf), center manifold, normal form, equivariant bifurcations.
• Applications: sensibilité à l'orientation des contours visuels, formation de structures corticales et hallucinations visuelles.
  Applications: ring model of orientations, Turing mechanism for cortical pattern formation, geometric visual hallucinations.
• Modèles de neurones: le modèle de Hodgkin-Huxley sans espace, modèles simpliés, modèles de synapses, modèles spatiaux.
  Neuronal models: aspatial Hodgkin-Huxley model, simplified models, synaptic models, spatial models.
• Le rôle du bruit: mouvement Brownien, équations différentielles stochastiques, application aux neurones.
  Importance of noise: Brownian motion, stochastic differential equations, application to neurons.
• Modèles de champ moyen: la théorie de Sompolinsky-ben Arous-Guionnet des verres de spin, applications aux modèles de neurones à taux de décharge, la théorie de Mc-Kean-Tanaka-Sznitman de particules en interaction, application aux modèles de neurones à potentiels d'action, application aux masses neurales.
  Mean field models: theory of Sompolinsky-ben Arous-Guionnet of spin glasses, application to spiking neuronal models, theory of Mc-Kean-Tanaka-Sznitman of interacting particules, application to models of neurons with action potential , application to neural masses.

Bibliographie sommaire :
A few references:

• Wulfram Gerstner et W. Kistler, Spiking neuron models, Cambridge University Press, 2002.
• Yuri A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory.
• Eugène Izhikevich, Dynamical systems in neuroscience: the geometry of excitability and bursting, MIT Press, 2006.
• G. Bard Ermentrout and David H. Terman, Mathematical Foundations of Neuroscience, Springer, 2010.
• Jean-Pierre Françoise, Oscillations en biologie, Springer, 2000.
• Lawrence C. Evans, An introduction to stochastic differential equations, http://math.berkeley.edu/~evans/SDE.course.pdf
• Jean-François Le Gall, Mouvement brownien et calcul stochastique, http://www.dma.ens.fr/~legall/DEA96.pdf
• Sylvie Benzoni, Cours de M1 sur les EDOs, http://math.univ-lyon1.fr/~benzoni/

Date et lieu des cours et des TPs :
When and where:

Les cours ont lieu à l'Ecole Normale Supérieure, 45 rue d'Ulm, Paris Vème, salle R le mercredi de 13:30 à 16:30
Lectures will be given at Ecole Normale Supérieure, 45 rue d'Ulm, Paris Vème, room R on Wednesdays from 13:30 to 16:30

28/09 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
05/10 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
12/10 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
19/10 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
02/11 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
09/11 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
16/11 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
23/11 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
30/11 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45
07/12 cours 13h30-16h30, TP 16h45-18h45

Rappel de cours :   Equations différentielles ordinaires
                  Ordinary differential equations
                 
                 Cours de Gérard Iooss avec démonstration de la variété centrale en dimension finie
                Lesson with the proof of the finite center manfiold by Gérard Iooss 

                 Rappels de probabilités
                 Background material on probabilities

Leçon 1 :   Modèles mésoscopiques de certaines structures corticales visuelles
                  Introduction to mesoscopic models of visual cortical structures.
                 
                 Rappels sur les systèmes dynamiques
                Overview on dynamical systems

                 TD1 and  Corrections TD1 Corrections TD1 (suite)
                Problems session 1             

Leçon 2 :    Introduction à la théorie des bifurcations
                   Introduction to bifurcation theory

                   TD2 and TD3

Leçon 3 :    Applications: sensibilité à l'orientation des contours visuels, formation de structures corticales et hallucinations visuelles
                  Applications: tuning curves selectivity, cortical patterns formation and visual hallucinations

                   TD4

Leçon 4 :  Mouvement brownien
                   Brownian motion

                   Intégrale stochastique
                   Stochastic integral

Leçon 5 :  Equations différentielles stochastiques
                   Stochastic differential equations

                   Temps d'arrêt, formules de Feynman-Kac, équation de Fokker-Planck
                   Stopping times, Feynman-Kac formulas, Fokker-Planck equation                   

Contrôle des connaissances :

1) Articles à lire et à commenter :
Le choix des articles à lire pour le contrôle se fait à partir du fichier.
La présentation des articles : le 14 décembre à partir de 13:30 en salle R
Durée de présentation : 20 minutes + 10 minutes de questions
Support : transparents ou planches (powerpoint, pdf, etc...)

2) Problème d'examen :
Durée 2 heures
Date : à fixer début janvier