Détection de fissures

L'application visée par ces travaux concerne le problème d'identification de fissures dans une structure à partir de données surdéterminées sur le bord.

Cette application s'inscrit dans un domaine du contrôle industriel : le contrôle non destructif des matériaux. Plusieurs modèles physiques correspondent aux différentes techniques de contrôle. Nous retiendrons dans le cadre de notre étude celles pour lesquelles le phénomène est modélisé par l'opérateur de Laplace (données thermiques stationnaires, élastostatique...). Le principe de ces méthodes est d'imposer une condition sur le bord extérieur de la pièce que l'on veut contrôler (par exemple en imposant un flux de chaleur $\Phi$ dans le cas du contrôle par données thermiques) et de mesurer la réponse u du matériau (température dans ce même cas).

La pièce à examiner occupant le domaine plan D, on modélisera la fissure par une courbe $\gamma$ à l'intérieur du domaine. Le problème direct correspondant est alors décrit ainsi :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \Delta u & = & 0 \ \ \ {\rm dans}... ...gamma \setminus \{\gamma_0, \gamma_1\}\, , \end{array}\right.$$ (1.1)

où D est un ouvert borné simplement connexe dans le plan complexe $\mathbb{C}$, $n_\Gamma$ désigne le vecteur unitaire normal à $\Gamma$ sortant, $n_\gamma$ un vecteur unitaire normal à $\gamma$ et les points $\gamma_0$ et $\gamma_1$ sont les deux extrémités de la fissure $\gamma$. Pour tout voisinage assez petit d'un point de $\gamma^o$, on peut définir deux régions distinctes séparées par $\gamma$. La quantité $u^\pm$ introduite ci-dessus désigne les déterminations de la quantité u, selon que l'on tend vers un point de $\gamma^o$ par le ``côté'' + ou - (c.f. figure 1.1).

  

Figure 1.1: Le domaine D.

#1#2#3#4#5 @font#1#2pt #3#4#5

Comme l'indique la troisième relation dans (1.1), le flux $\Phi$ est nul sur la fissure $\gamma$, ce qui signifie que celle-ci est parfaitement isolante (et induit donc une discontinuité dans la température) mais on notera que par conjugaison harmonique, ce problème peut se ramener au cas d'un conducteur parfait (conductivité infinie).
Pour que ce problème direct admette une solution, il faut que la circulation du flux $\Phi$ soit nulle, ce qui s'exprime par la condition

D'autre part, le problème étant Neumann pur, on peut remarquer que toute solution u du problème restera solution à une constante additive près. On ajoutera donc la condition de normalisation

(1.3)

afin de sélectionner une solution.

Le problème de contrôle que nous souhaitons résoudre est le problème inverse associé au problème (1.1), lorsque l'on ne connaît pas la fissure $\gamma$ et qu'on dispose pour l'identifier de données surdéterminées sur le bord extérieur $\Gamma$, sous la forme de couples (u,$\Phi$).
Pour déterminer sous quelles conditions ce problème inverse est bien posé et en proposer une méthode de résolution, il nous faut examiner les trois points suivants :

$\bullet$

Identifiablité
Pour p>0, on notera $\mathcal S^p(D)$ l'espace de Sobolev sur un domaine D de $\mathbb{R}^n$. Cette définition est étendue pour p<0 par dualité de manière classique (voir par exemple [32] pour plus de détails).
Définissons, pour une fissure $\gamma$, l'opérateur de Poincaré-Steklov $\Lambda_\gamma$ associé

$$\begin{array}{lrcl} \Lambda_\gamma~: & \mathcal S^{-\frac{1}... ...\frac{1}{2}}{(\Gamma)} \\ & \Phi & \longmapsto & u \end{array}$$ (1.4)

Un résultat d'identifiabilité pour la fissure consiste à prouver que l'opérateur qui à $\gamma$ associe $\Lambda_\gamma$ est injectif.
Toutefois, dans la mesure où l'on ne dispose au plus que d'un ensemble fini de couples $(u,\Phi)$, il nous faut un résultat plus fort. On ne pourra en effet assurer l'identifiabilité que si, pour un flux $\Phi$ donné (ou pour un ensemble fini de flux), l'opérateur associé

$$\begin{array}{lrcl} \eta_{\Phi}~: & \Sigma & \longrightarrow ... ...\Gamma)}\\ & \gamma & \longmapsto & u\vert _\Gamma \end{array}$$ (1.5)

(où $\Sigma$ est l'ensemble des fissures admissibles dans D) est injectif.

$\bullet$

Stabilité
Une fois que l'on a la première condition remplie, il convient de s'assurer de la stabilité de la solution par rapport aux données. Pour cela, il est nécessaire que, pour le flux $\Phi$ choisi et $\eta_\Phi$ défini comme ci-dessus, l'opérateur inverse

$$\begin{array}{lccl} \eta^{-1}_{\Phi}~: & \eta_\Phi(\Sigma) & \longrightarrow &\Sigma\\ & u & \longmapsto & \gamma \end{array}$$ (1.6)

soit continu (pour une topologie préalablement choisie).

$\bullet$

Identification
Lorsque les deux conditions précédentes sont remplies, ce problème est bien posé au sens d'Hadamard et l'on peut aborder la question de l'identification. Il s'agit de définir un procédé d'inversion (un ou plusieurs flux $\Phi$ et l'opérateur $\eta^{-1}_\Phi$ associé) afin de retrouver la localisation et la forme de la fissure à partir de la réponse du sytème (la température, ici) au flux $\Phi$ choisi.