Introduction

L'analyse complexe et la théorie des fonctions sont aujourd'hui des outils classiques dans l'étude des équations aux dérivées partielles linéaires (voir par exemple [21,1]). Les travaux qui sont présentés ici ont pour motivation première d'utiliser la forte connexion entre l'analyse complexe et l'opérateur de Laplace 2D, outil traditionnel de la théorie du potentiel, ce en vue d'examiner le problème d'actualité en contrôle non destructif qu'est la détection de fissures dans un domaine plan.

Pour aborder ce problème inverse, nous exhiberons comment des techniques telles que l'approximation rationnelle ou méromorphe peuvent être mises à contribution dans le cadre d'équations du Laplacien. Nous montrerons ainsi comment, par la construction d'une fonction F à partir de données harmoniques de type Dirichlet-Neumann sur le bord du domaine étudié, on peut établir un lien entre la théorie de l'approximation et la localisation d'une fissure dans un domaine simplement connexe.

Nous nous consacrerons plus précisemment à deux modes d'approximation qui se révèlent étroitement liés : d'une part l'approximation rationnelle pour la norme L², et d'autre part l'approximation méromorphe pour la norme $L^\infty$ qui est rendue constructive par des techniques issues de la théorie d'Adamjan-Arov-Krein (AAK).

Dans le premier chapitre de ces travaux, nous présentons en détail un énoncé du problème général de détection de fissures, le type de données et de connaissances dont nous disposons pour tenter de résoudre ce problème. En particulier, nous citons différents travaux qui ont été menés sur ce sujet au cours de la dernière décennie, en mentionnant certains des principaux résultats obtenus à ce jour dans le domaine de l'identification.

Le second chapitre introduit quant à lui les principales notions d'analyse complexe qui seront utilisées par la suite dans ce travail. Nous y présentons alors notre approche du sujet, adoptant une interprêtation thermique pour stimuler l'intuition (une interprétation électrique ou électrostatique est également possible), et plus particulièrement comment nous construisons notre fonction F à partir de données sur le bord telles que la température u à l'équilibre et le flux de chaleur $\Phi$ associé. Nous y montrerons ensuite comment nous pouvons formuler le problème dans le cadre de l'analyse complexe et comment cette nouvelle formulation peut se traduire sous forme d'une question d'approximation.

C'est dans le troisième chapitre que nous exhibons le lien entre les deux techniques d'approximation que nous avons choisies, et que nous développons comment ce lien nous amène à des résultats d'approximation rationnelle. Nous y présentons en effet des théorèmes mettant en relation la position des pôles de nos différents approximants et la position de la fissure recherchée. Nous détaillons ensuite comment ces résultats d'approximation s'interprètent dans le cadre de notre problème inverse, quel type d'informations l'on peut tirer de ceux-là pour identifier une fissure, et finalement comment notre approche s'intègre dans les méthodes semi-explicites présentées dans le premier chapitre.
Les techniques développées au cours de cette partie seront finalement mises en uvre sous forme d'algorithmes d'approximation et nous mènerons divers tests sur des données obtenues à l'aide de simulations numériques d'équation de la chaleur. Le détail des méthodes d'expérimentations et la mise en application de ces résultats d'approximation seront présentés et commentés dans le quatrième et dernier chapitre de ce mémoire.