Résultats d'identification

Dans notre cadre de travail, on distingue deux familles de méthodes d'identification :

1.

Les méthodes itératives.
Basées sur la minimisation d'une fonctionnelle moindres carrés (typiquement sur l'écart à la mesure), elles nécessitent la résolution d'un problème direct à chaque itération.

2.

Les méthodes ``semi-explicites''.
Ces dernières donnent lieu à des techniques d'inversion ne nécessitant aucune évaluation de la solution du problème aux limites correspondant.

Dans ce qui suit, nous allons détailler trois types particuliers de méthodes d'identification, la première est itérative et les deux suivantes sont semi-explicites. Les techniques que nous développerons dans les chapitres suivants appartiennent aussi à la deuxième classe des méthodes exposées ci-dessus. Il est important de noter que ces dernières, lorsqu'elles ne suffisent pas à localiser totalement la fissure, peuvent toutefois être utilisées afin d'initialiser des méthodes itératives.

   
Méthode itérative

L'approche présentée dans l'article [48], F. Santosa et M. Vogelius considèrent le problème dual au nôtre :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \Delta u & = & 0 \ \ \ {\rm dans}... ...rm Constante} \ \ \ {\rm sur} \; \gamma,\\ \end{array}\right.$$ (1.7)

Le problème inverse associé à ce problème direct est toujours de localiser la fissure $\gamma$ par une connaissance de $\Phi$ et des mesures des valeurs de u correspondantes sur le bord extérieur $\Gamma$ sous la condition cette fois que celle-ci soit de conductivité infinie.

Pour que le problème soit bien posé, on y ajoute les conditions d'existence et de normalisation suivantes :

$$\int_{\Gamma}{\Phi(z)\vert dz\vert}=0$$ (1.8)

et

$$u = 0~~{\rm sur~\gamma}.$$ (1.9)

Cette approche suppose que la fissure $\gamma$ est rectiligne. Afin de localiser cette dernière, on définit tout d'abord une fonctionnelle

$$H(\sigma,\Phi,w) = \int_{\Gamma}{u_{\sigma,\Phi}(z) \frac{\partial w}{\partial n_\Gamma}(z)\vert dz\vert}$$ (1.10)

pour une fissure rectiligne $\sigma$ et pour toute fonction w statisfaisant

$$\left\{ \begin{array}{lcl} w & = & 0 \ \ \ {\rm sur} \ \sigm... ... & = & 0 \ \ \ {\rm dans} \ D_\sigma\, ,\\ \end{array}\right.$$ (1.11)

(ici, $u_{\sigma,\Phi}$ désigne la solution de (1.7) et (1.9) avec $\sigma$ à la place de $\gamma$).
Muni de cette définition, on considère la fonctionnelle vectorielle ${\bf H}$ construite comme suit :

$${\bf H}(\sigma,\Phi,{\bf w}) = \left( \begin{array}{r} H(\sig... ...(\sigma,\Phi,w_3)\\ H(\sigma,\Phi,w_4)\\ \end{array}\right).$$ (1.12)

Le choix des fonctions tests w_k, $k=1,\ldots,4$ est essentiel comme nous allons le voir un peu plus loin.
Par les mesures sur le bord extérieur $u\vert _\Gamma$, il est possible d'autre part de se doter de mesures pour la fonction :

$${\bf h}(\Phi,{\bf w}) = {\bf H}(\gamma,\Phi,{\bf w}) = \left(... ...(\gamma,\Phi,w_3)\\ H(\gamma,\Phi,w_4)\\ \end{array}\right).$$ (1.13)

Enfin, pour une fissure $\sigma$ choisie, les auteurs décrivent une méthode pour choisir $\Phi_\sigma$ dans un ensemble de flux admissibles, de manière à ce que $\Phi_\sigma$ soit maximalement sensible aux variations de $\sigma$. L'approche présentée dans ces travaux consiste à résoudre ${\bf G}(\sigma)=0$ où ${\bf G}$ désigne la fonctionnelle ${\bf G}(\sigma)={\bf H}(\sigma,\Phi_\sigma,{\bf w})-{\bf h}(\Phi_\sigma,{\bf w})$ à l'aide d'un algorithme de Newton. Les auteurs déterminent dans ce but une expression explicite de la dérivée de Fréchet de cette fonctionnelle en fonction de $\sigma$, et montrent que celle-ci peut-être simplifiée en choisissant les w_k suivants :

$$w_1=(-x_2,x_1)^T.\bigtriangledown{w}, \quad w_2=\frac{\partia... ...w}}{\partial{x_1}}, \quad w_4=(x_1,x_2)^T.\bigtriangledown{w},$$ (1.14)

où (x₁,x₂) désignent les coordonnées cartésiennes et où w satisfait (1.11).

  

Figure: Une expérimentation par méthode itérative (extrait de [48])

sanvog.eps

Les flux utilisés dans leurs expérimentations sont constants sur deux parties du bord (les points où sont placées des électrodes) et nuls ailleurs. Les figures 1.2, issues de l'article, montrent une de ces expérimentations :

Sur la partie gauche des figures, on voit le segment choisi comme fissure initiale au début de chaque itération ((a) et (b) indiquent la première puis la seconde itération) ainsi que les positions des électrodes (les carrés) pour que le flux soit maximalement sensible à chaque itération.

La partie de droite montre d'une part la vraie fissure en pointillés, et d'autre part la position de la fissure à la fin de l'itération. Comme on le voit, si le point de départ est bien choisi, la convergence peut être assez rapide.

Cette approche permet de déterminer assez précisemment la position d'une fissure rectiligne. Elle requiert toutefois un coût important de par les résolutions successives du problème direct qu'elle effectue. On notera par ailleurs que pour exprimer la dérivée de la fonctionnelle, les auteurs supposent que $\sigma$ est assez proche de $\gamma$, d'où l'importance de disposer de bonnes conditions initiales dans l'algorithme.

Méthode d'écart à la réciprocité

Cette méthode, introduite par S. Andrieux et A. Ben Abda dans [9], consiste à comparer la réponse de la pièce fissurée avec celle d'une pièce saine de mêmes caractéristiques.

Soit D l'ouvert occupé par la structure à contrôler, rappelons alors le problème direct correspondant :

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \Delta u & = & 0 \ \ \ {\rm dans}... ...mma \setminus \{\gamma_0, \gamma_1\}\, .\\ \end{array}\right.$$ (1.15)

Notons $h = u\vert _{\Gamma}$ et considérons v un champ harmonique dans l'ouvert sain. Alors, par la deuxième formule de Green, on a :

$$\int_{\Gamma}{\left(\Phi(z) v(z) -\frac{\partial v} {\partial... ...\gamma(z)\frac{\partial v}{\partial n_\gamma}(z)\vert dz\vert}$$ (1.16)

(où $[u]_\gamma = u^+ - u^-$ désigne le saut de la valeur u au travers de la fissure $\gamma$).
L'idée de la méthode consiste à sélectionner des champs vpour avoir des informations sur $\gamma$.

Si la fissure est plane dans un domaine 3D (ou rectiligne dans un domaine 2D), la normale $n_\gamma$ est indépendante du point x de $\gamma$. On peut alors la déterminer par les résultats suivants.
Définissons la fonctionnelle d'écart à la réciprocité (RG = Reciprocity Gap) comme étant

$$RG_{[\Phi,h]}(v)=\int_{\Gamma}{\left(\Phi(z) v(z) - \frac{\partial v} {\partial n_\Gamma}(z)h(z)\right)\vert dz\vert}$$ (1.17)

pour une fonction v harmonique dans le domaine sain D.
Pour déterminer le plan $\Pi$ de la fissure, on considère un repère direct orthonormal (O,e₁,e₂,e₃) et on note l'équation du plan comme étant n₁x₁+n₂x₂+n₃x₃+C=0 (où (x₁,x₂,x₃)sont des coordonnèes cartésiennes et N=(n₁,n₂,n₃) est un vecteur unitaire normal au plan).

Une fois la normale N déterminée par cette proposition, on considère un nouveau repère orthonormal direct (O,T,V,N)de telle sorte qu'en associant les coordonnées (X₁,X₂,X₃)à ce nouveau repère, le plan $\Pi$ a pour équation X₃-C=0.
On achève en déterminant C avec la proposition suivante :

Une fois le plan de la fissure identifié, il reste alors à déterminer la fissure elle-même dans le plan. Dans ce but, les auteurs décrivent une méthode constructive d'identification. Celle-ci considère la prolongation de la fonction de saut $[u]_\gamma = u^+ - u^-$ dans le domaine $\Pi \bigcap D$, et cherche à déterminer son support.
Pour cela, on utilise une décomposition dans une base Hilbertienne (la base de Fourier est proposée dans cet article) et l'on calcule les coefficients à l'aide de la fonctionnelle RG. Compte tenu des oscillations de telles décompositions, on fixe un seuil $\epsilon$arbitraire et on approxime le support de $[u]_\gamma$ par l'ensemble $\{ t\in\Pi~:~[u]_\gamma(t)>\epsilon \}$.
Les auteurs présentent finalement le résultat d'identifiabilité suivant :

Dans un article en préparation [22], A. Ben Abda et M. Kallel étendent ces travaux et présentent des résultats numériques. La base hilbertienne utilisée dans cet article n'est pas la base de Fourier mais la base de Legendre, celle-ci présentant des oscillations moindres hors du support et permet de réduire le seuil $\epsilon$ pour obtenir une meilleure convergence du support vers la fissure.

Cette approche par la fonctionnelle d'écart à la réciprocité présente de nombreux avantages : Il s'agit d'une méthode semi-explicite, ce qui permet d'obtenir les informations sur la fissure en un temps bien moindre que celui requis par un algorithme itératif. De plus, cette approche ne suppose pas pour fonctionner que la fissure soit nécessairement connexe et reste robuste par rapport au bruit sur les mesures au bord. Les courbes montrées dans la figure 1.3 montrent la reconstruction de $[u]_\gamma$ et de son support pour un flux identifiant (egal à 1 dans le demi-plan supérieur et -1 dans le demi-plan inférieur). On voit que le seuillage permet d'obtenir une bonne identification du support. Il est important de souligner que cette méthode présente une bonne robustesse par rapport au bruit sur les mesures.

  

Figure: Reconstruction du support par la méthode RG (extrait de [22]).

[Reconstruction de $[u]_\gamma$ sur $\Pi$.] [width=.45]moez2.ps [Cas d'une fissure non connexe.] [width=.45]moez3.ps

Méthode semi-explicite par factorisation

Cette méthode non itérative, présentée par M. Brühl, M. Hanke et M. Pidcock dans [23], ne requiert pas de résolution du problème direct excepté pour un premier calcul de l'opérateur de Poincaré-Steklov tel que défini en (1.4) mais correspondant au domaine sain.

A l'aide d'une factorisation de la différence entre l'opérateur $\Lambda$ associé au domaine sain D et celui associé au domaine fissuré $\Lambda_\gamma$, les auteurs définissent un test simple et peu coûteux permettant de déterminer si un arc de courbe est inclus dans la fissure $\gamma$. Pour présenter ces résultats, il convient d'ajouter à nos notations introduites en (1.15) quelques définitions et notations utilisées dans l'article.
Notons $\Gamma_0 \subset \Gamma$ le support du flux $\Phi$ sur le bord extérieur. On définit l'espace

$$L^2_\diamond(\Gamma_0)=\left\{\varphi\in L^2(\Gamma_0) : \int_{\Gamma_0} \varphi(z) \vert dz\vert = 0 \right\}.$$ (1.18)

D'autre part, toujours en notant ${\mathcal S}^1(D)$ l'espace de Sobolev standard, on définira les espaces suivants :

$${\mathcal S}^1_{\diamond}(D)= \left\{ v \in {\mathcal S}^1(D) : v\vert _{\Gamma_0} \in L^2_\diamond(\Gamma_0)\right\},$$ (1.19)

on caractérisera ${\mathcal S}^1_{\diamond}(D_\gamma)$ comme étant la fermeture de

$${\mathcal C}=\left\{u\in C^{\infty},(\bar{D}\setminus \gamma)... ...\infty {\rm~et~} \int_{\Gamma_0}{u(z)} \vert dz\vert=0\right\}$$ (1.20)

(où z=x+iy) pour une topologie associée à la norme de Dirichlet

$$\Vert u\Vert=\sqrt{\int_{D_\gamma}{\vert\bigtriangledown u(z)\vert^2\,dx\,dy}},$$ (1.21)

et on posera $\mathcal K$ comme étant le complémentaire orthogonal de ${\mathcal S}^1_{\diamond}(D)$ dans ${\mathcal S}^1_{\diamond}(D_\gamma)$(pour le produit scalaire

$$<u,v>\,=\int_{D_\gamma}{<\bigtriangledown u(z),\bigtriangledown v(z)>\,dx\,dy}$$ (1.22)

associé à la norme définie plus haut).
Notons enfin les deux opérateurs suivants :

$$\begin{array}{rll} T:&{\mathcal S}^1_{\diamond}(D_\gamma)&\ri... ...mond(\Gamma_0)\\ &v&\mapsto v\vert _{\Gamma_0},\\ \end{array}$$ (1.23)

l'opérateur trace sur $\Gamma_0$, et

$$\begin{array}{rll} K:&L^2_\diamond(\Gamma_0) &\rightarrow{\ma... ...gamma)\\ &\Phi &\mapsto u_{\gamma,\Phi}-u_\Phi,\\ \end{array}$$ (1.24)

où $u_{\gamma,\Phi}$ et $u_\Phi$ désignent les réponses du système au flux $\Phi$ pour les domaines respectivement fissuré et sain. On notera ${\mathcal R}(K)$ son image.

Les auteurs définissent et prouvent une factorisation de l'opérateur défini par la différence entre $\Lambda$ et $\Lambda_\gamma$, sous forme d'un produit de deux opérateurs adjoints dans le théorème suivant :

Cette factorisation étant établie, on a alors le résultat suivant :

Enfin, en remarquant que ${\mathcal R}((\Lambda_\gamma - \Lambda)^{\frac{1}{2}})={\mathcal R}(K^{*})$, ce thèorème se traduit par le fait que, pour toute fonction $g \in L^2_{\diamond}(\Gamma_0)$, on a $g \in {\mathcal R}(K^{*})$si g=T w pour une certaine fonction $w \in {\mathcal K}$.
La procédure d'identification consiste à construire la fonction vsuivante.

Soit $\sigma$ une courbe dans D, notons $D_\sigma = D \setminus \sigma$, et définissons v₁ par un potentiel double-couche comme suit :

$$v_1(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{\sigma}{\varphi(\xi) \frac{\partia... ...g{\frac{1}{\vert z-\xi\vert}}\vert d\xi\vert},~~~z\in D_\sigma$$ (1.25)

pour une densité $\varphi$ lisse et positive sur la fissure excepté aux extrémités où elle s'annule. Soit v₀ une fonction harmonique dans D dont le flux sortant à travers $\Gamma$ coïncide avec celui de v₁. On peut alors déterminer une constante c telle que $v=v_1-v_0-c \in {\mathcal S}^1_{\diamond} (D_\sigma)$ et l'on a le résultat suivant.

Il est important de souligner que le calcul de $g_\sigma$ ne nécessite pas une résolution systématique du problème direct pour chaque $\sigma$ car v₀ n'est évaluée que sur $\Gamma_0$, et l'on peut donc l'obtenir par l'opérateur de Poincaré-Steklov $\Lambda$associé au domaine sain.

Les auteurs décrivent dans la dernière partie de l'article un moyen numérique d'estimer si un segment $\sigma$ est ``proche'' de la fissure $\gamma$ en calculant un coefficient $\rho=\rho(\sigma\in [0,1]$ qui tend vers 1 lorsque le segment test s'approche de $\gamma$.

  

Figure: Topologie d'un domaine par la méthode Brühl-Hanke-Pidcock. (extrait de [23])

[Position de la fissure et d'un segment test] [width=.35]plotBHP1.ps [Topologie du domaine] [width=.45]plotBHP2.ps

Les figures 1.4 montrent une de ces simulations. On voit en (a) un domaine avec une fissure et en (b) la ``topologie'' du domaine en le parcourant avec des segments $\sigma$ et en affichant la valeur du coefficient $\rho$ correspondant. Afin de déterminer la position de la fissure, on peut alors ne considerer que les segment pour lesquels $\rho$ dépasse un seuil arbitrairement choisi. Les figures 1.5 illustrent le résultat obtenu en ne regardant que les segments pour lesquels $\rho >3/4$.
Cette méthode présente un avantage important du fait qu'elle ne requiert pas de connaissance a priori sur le nombre de fissures ni même sur leur forme. Toutefois, si elle est non itérative (au sens où elle ne nécessite pas de résolutions successives du problème direct), elle suppose en contrepartie la connaissance d'un nombre important de couples $(u,\Phi)$, ceci afin d'établir une sous-suite des valeurs propres de l'opérateur racine. Le problème principal reste que l'on ne peut évaluer qu'un nombre fini de valeurs propres de l'opérateur racine, ce qui pose des limites numériques sur le test.

  

Figure: Localisation de la fissure par la méthode Brühl-Hanke-Pidcock. (extrait de [23])

[Segments pour lesquels $\rho >3/4$] [width=.45]plotBHP3.ps [Agrandissement près de la fissure] [width=.45]plotBHP4.ps