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(November 25, 2007)

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Thierry Goudon's Picture  INRIA / Photo C. Lebedinsky

© INRIA / Photo C. Lebedinsky

Activités sur le transfert radiatif

Cette page a été rédigée à l'occasion de la remise du prix SMAI-Robert Dautray 2008

Ma thèse en mathématiques appliquées soutenue à l'Université Bordeaux 1 en 1997, sous la direction de K. Hamdache, était consacrée à diverses questions de la théorie cinétique des gaz et à l'équation de Boltzmann. Depuis, je me suis davantage intéressé à des problèmes d'analyse asymptotique pour des équations cinétiques et tout particulièrement à la justification de limites hydrodynamiques et d'approximation par la diffusion. Parmi les applications variées de cette problématique, les problèmes liés à la modélisation de phénomènes de transfert radiatif tiennent une place privilégiée (avec la neutronique ou le transport de particules chargées).

Un premier travail a consisté à mêler l'approximation par diffusion avec des aspects d'homogénéisation pour des modèles non linéaires de transfert radiatif "gris". Cet article a mis en place une méthode qui a été reprise et étendue par la suite, dans une série de travaux en collaboration avec P. Degond, F. Poupaud ou A. Mellet ; cette approche repose sur :

- l'exploitation des propriétés de dissipation du modèle qui permet d'établir les estimations a priori cruciales pour l'analyse (estimations d'entropie) ;

- l'utilisation d'arguments de compacité par compensation pour obtenir la compacité de quantités macroscopiques. Ce recours au lemme div-rot, déjà exploité par Lions-Toscani ou, de façon un peu différente, par Marcati-Milani, a été systématisé et constitue, pour ces problèmes, une alternative aux lemmes de moyenne ;

- le recours, pour les aspects d'homogénéisation, aux techniques de convergence à deux-échelles et le choix de fonctions tests oscillantes judicieuses.

A la suite de travaux de Buet-Després, reprenant les descriptions de Mihalas-Mihalas ou Lowrie-Hittinger-Morel, nous nous sommes intéressés avec P. Lafitte à des modèles prenant en compte des corrections Doppler et où on distingue les régimes "équilibre" et "hors équilibre". Ces derniers conduisent à des modèles plus complexes où la température des radiations reste distincte de la température du fluide environnant. Les corrections Doppler dans l'écriture des termes "collisionnels" sont importantes car elles conduisent dans l'asymptotique de diffusion à des termes supplémentaires, notamment un terme non conservatif en "pdiv(u)" où p est la pression radiative. Nous donnons une justification rigoureuse du régime diffusif pour des modèles simplifiés avec effets Doppler et introduisons une méthode numérique adaptée à ce régime.

Une question importante en pratique consiste à trouver des modèles intermédiaires entre la description cinétique, trop lourde pour permettre des simulations aux échelles de petits libres parcours moyens, et la limite de diffusion, trop frustre et ayant perdu certaines caractéristiques du modèle initial (notamment la propriété de flux limité). Parmi la foultitude de fermetures proposées, la fermeture basée sur des principes de minimisation d'entropie connaît un certain succès. Introduite par D. Levermore, elle apparait par exemple dans certains modèles utilisés au CEA (voir les travaux de Feugeas, Dubroca, Charrier, Berthon, Turpault, Buet, Després, Cordier...). Avec J.-F. Coulombel et F. Golse, nous donnons une justification mathématiquement rigoureuse de l'intérêt de cette méthode et de sa consistance avec le régime de diffusion, au moins pour des modèles assez simples (voir aussi un second article sur ce sujet). Avec C. Besse, nous proposons une nouvelle fermeture, de nature non locale. Cette approximation fait intervenir des opérateurs pseudo-différentiels et nous introduisons aussi des méthodes permettant leur résolution numérique. (Ces modèles peuvent s'étendre à des systèmes d'équations décrivant certains phénomènes de transport de particules chargées à fort confinement, tokamaks ou confinement intertiel).

Nous avons aussi développé une classe de schémas numériques "Asymptotic Preserving" spécifiquement adaptés au régime de diffusion. Ces schémas, basés sur des stratégies de splitting en temps astucieuses, reposent précisément sur une bonne compréhension de la limite diffusive. Leur efficacité a été validée dans un travail avec J. A. Carrillo, P. Lafitte et F. Vecil, incluant une adaptation aux modèles reposant sur les principes de minimisation d'entropie. Les développements amorcés dans [3] sont tout particulièrement orientés sur les problèmes de transfert radiatif et dans un travail en cours avec P. Lafitte nous exploitons ces schémas pour étudier le régime hors équilibre dans les modèles couplés d'hydrodynamique radiative et l'influence des différents paramètres physiques.

Enfin, une autre problématique importante consiste à comprendre comment le couplage avec les radiations peut éventuellement modifier la structure des profils de chocs de l'hydrodynamique. Cette question a fait l'objet d'une part importante de la thèse Some mathematical models of the theory of radiative transfer de C. Lin, coencadrée avec J.-F. Coulombel. Il a été notamment démontré que pour des chocs d'amplitude assez faible, le système couplant les équations d'Euler avec une équation de diffusion pour les radiations admet des solutions régulières (d'autant plus régulières que l'amplitude est petite). Cet article étend aux systèmes des résultats bien établis pour des équations scalaires, dans la foulée des travaux de Kawashima-Nishibata ou Schochet-Tadmor. C. Lin a par ailleurs établi la stabilité de ces profils. L'analyse est bien plus difficile pour des chocs de grande amplitude pour lesquels des profils complexes peuvent apparaître, discontinus et non monotones (les "Zeldovich spikes"). Ces situations réclament un traitement numérique fin, comme par exemple décrit dans un récent travail de J.-F. Coulombel et P. Lafitte.

Publications liées au transfert radiatif

  • [1] Approximation by homogeneization and diffusion of kinetic equations , with F. POUPAUD (Labo. Dieudonné, Nice), Comm. PDE., 26, 537-569, 2001.
  • [2] Diffusion approximation and entropy-based moment closure for kinetic equations, with J.-F. COULOMBEL (Lille) and F. GOLSE (Paris 7), Asymptotic Analysis 45 (1-2), 1-39, 2005.
  • [3] A coupled model for radiative transfer: Doppler effects, equilibrium and non equilibrium diffusion asymptotics, with P. LAFITTE (Lille), SIAM MMS, 4(4), 1245 - 1279, 2006. And a link to further numerical simulations.
  • [4] Entropy-based moment closure for kinetic equations: Riemann problem and invariant regions , with J.-F. COULOMBEL (Lille), J. Hyperbolic Diff. Eq., 3 (4), 649--672, 2006.
  • [5] Shock Profiles for Non Equilibrium Radiating Gases , with J.-F. COULOMBEL, Ch. LIN (Lille), Physica D, 218, 83--94, 2006.
  • [6] Asymptotic stability of shock profiles in radiative hydrodynamics, with J.-F. COULOMBEL, Ch. LIN (Lille), CRAS, 345(11), 625--628, 2007.
  • [7] Numerical schemes of diffusion asymptotics and moment closure for kinetic equations , with J. A. CARRILLO (ICREA, UABarcelona), P. LAFITTE (Lille), F. VECIL (UABarcelona), in J. Sci. Comp. J. Sci. Comp. 35, 113--149, 2008.
  • [8] Derivation of a non-local model for diffusion asymptotics; application to radiative transfer problems , with C. BESSE (Lille), Comm. in Comput. Physics, 8, 1139--1182, 2010.
  • [9] Splitting schemes for the simulation of non equilibrium radiative flows , with P. LAFITTE (Lille), work in preparation, preliminary version.
  • [10] Analysis of large amplitude shock profiles for non-equilibrium radiative hydrodynamics: formation of Zeldovich spikes with J.-F. COULOMBEL (Nantes), P. LAFITTE (Paris), C. LIN (Hohai Univ., Nanjing), Shock Waves, 22(3), 2012.
  • [11] Global existence to the equilibrium diffusion model in radiative hydrodynamics, with C. LIN (Hohai Univ., Nanjing), Chinese Annals of Math. Series B, 32(4), 549--568, 2011.
  • Activités liées au transfert radiatif

    Cours "Transfert radiatif et approximation par la diffusion" dans le cadre de l'école Transfert Radiatif et Approximation de la Diffusion : Théorie et applications organiséee au CIRM en septembre 2005 par C. Bardos et J. Garnier. Les transparents sont accessibles ici.

    Organisateur d'une école d'été - Session "Etats de la Recherche de la SMF" sur le thème "Modèles mathématiques et méthodes numériques pour le transfert radiatif " à Nice, labo. J. A. Dieudonné, aout 2007. Cette école s'est déroulée en parallèle avec une école organisée par des collègues astrophysiciens: "Non LTE line formation for trace elements in stellar atmospheres". Elle a donnée lieu à des exposés de B. Després (CEA-P6), J. Morel (Texas A&M), C. Berthon (Bordeaux 1-Nantes) et R. Turpault (Nantes). Les actes de l'école sont parus dans la série Panoramas et Synthèses de la SMF avec le sommaire suivant :

  • J.-F. Coulombel and Th. Goudon: Shock profiles in radiative hydrodynamics
  • C. Berthon, J. Dubois and R. Turpault: Numerical Approximation of the M1-model
  • J. Morel : Discrete-ordinates transport methods for non-relativistic radiation-hydrodynamics
  • B. Després: Theory and Numerical Methods for Grey Radiative Hydrodynamics