6 Élargir les positions atteignables: passer à 4 câbles

Nous avons vu qu'en terme de déplacement horizontal un CDPR à 3 câbles ne pouvait pas se déplacer en dehors du triangle $A_1A_2A_3$, ce qui ne permet pas, par exemple, de couvrir une pièce rectangulaire. Pour élargir l'ensemble des positions que $B$ peut atteindre il suffit de rajouter un quatrième câble et de mettre les mâts aux 4 coins de la pièce. Pour les mêmes raisons que pour le CDPR à 3 câbles le point $B$ du CDPR à 4 câbles vu de dessus pourra se déplacer à l'intérieur du quadrilatère $A_1A_2A_3A_4$. En hauteur ses limites sont de la même nature que pour les les CDPR à 3 câbles.

6.1 Peut t'on avoir 4 câbles tendus ?

Outre l'augmentation de l'espace de travail dans lequel $B$ peut se déplacer on pourrait penser que l'on va aussi réduire les tensions dans les câbles (comparées à un CDPR à 3 câbles) puisque nous avons 4 câbles pour soutenir la charge. Mais est t'il possible de placer $B$ dans une position avec 4 câbles tendus puis de le déplacer tout en maintenant les 4 câbles tendus ? Supposons que $B$ soit dans une position avec 3 câbles tendus (par exemple les câbles 1,2,3) et le 4ème détendu. Nous avons vu qu'avec 3 câbles tendus la position de $B$ est totalement déterminée par la longueur des câbles. La distance de $A_4$ à $B$, qui est la longueur du 4ème câble, est donc totalement déterminée. Pour tendre le 4ème câble nous devons donc être capable d'ajuster de manière infiniment précise sa longueur. En effet si elle trop grande le câble restera détendu et si elle est trop courte, alors le point $B$ ne peut pas rester dans cette position et va donc évoluer vers un autre position. Cette autre position ne peut pas être une position avec les 4 câbles tendus puisque dans ce cas la position serait celle où 1,2,3 sont tendus.

Contrôler très précisément la longueur d'un câble est physiquement impossible (nous avons même déjà vu que la mesurer exactement n'est pas possible). Dans ces conditions le mieux que nous puissions dire est que lorsque l'on raccourcira le 4ème câble le CDPR passera, à un instant inconnu, dans une configuration où les 4 câbles seront tendus avant d'évoluer vers une configuration où, au plus, 3 câble seront tendus.

Un CDPR a 4 câbles aura en général au plus 3 câbles tendus mais pourra passer par instant dans un configuration où tous les câbles seront tendus. Si l'on ne dispose comme information que la mesure des longueurs des câbles il est par contre impossible de le placer par commande dans une position où tous les câbles sont tendus et de maintenir tous les câbles tendus pendant que le CDPR se déplace.

: Avoir les 4 câbles tendus aurait bien sûr un intérêt puisque on pourrait mieux distribuer le poids de la charge sur les 4 câbles et donc les solliciter moins qu'avec 3 câbles. D'un point de vue mathématique les conditions d'équilibre (2) constituent un système de 3 équations dans les 4 tensions des câbles. Si l'on résout ce système dans 3 des tensions alors la solution obtenue sera fonction de la tension dans le 4ème câble. Selon la position de $B$ on peut alors avoir une infinité de tensions positives possibles pour les 4 câbles: le système est redondant. Du point de vue des tensions il serait donc possible, pour une position de $B$ fixée, de choisir dans l'infinité des solutions celle qui, par exemple, minimise la valeur de la plus grande des tensions. Malheureusement si l'on suppose le câble idéal la seule solution pour changer la tension est de changer la longueur du câble qui va amener $B$ à changer de position. Pour exploiter la redondance on alors supposer une certaine élasticité dans le câble qui fait qu'il s'allonge sous l'effet de sa tension. Par exemple si l'on suppose une élasticité linéaire un câble de longueur au repose $L_0$ soumis à une tension $f$ va avoir une longueur $L= L_0+k f$ où $k$ est une constante connue appelée la raideur du câble. Si on a calculé un jeu de tensions souhaitées pour les 4 câbles alors le $f$ est connue. Comme la longueur $L$ est donnée par la position de $B$ alors le treuil doit être commandé pour avoir une longueur du câble $L_0 = L-k f$. Ce problème de répartir les tensions parmi les câbles dit de la distribution des tensions fait encore débat parmi les chercheurs pour ce qui concerne sa réalisation et son efficacité.

6.2 Quels sont les câbles tendus ?

On peut se poser la question de l'importance du résultat de la section précédente mais nous allons voir qu'il va avoir une influence majeure sur le fonctionnement du système.

Pour un CDPR à 4 câbles Pour mettre $B$ dans une position donnée le principe est le même que pour le CDPR à 3 câbles: on calcule les longueurs de câbles pour la position et on demande au système de commande d'appliquer ces longueurs, sachant que les longueurs réelles des câbles ne seront pas exactement celle requises pour atteindre la position objectif.

Au vu la section ci-dessus, vous savez qu'il y a une forte probabilité pour que le CDPR ait au plus 3 câbles tendus. Mais lesquels ? Pour déterminer cela il faut regarder dans quel triangle $A_iA_jA_k$ est contenu le point $B$ puisque cela définit les poses atteignables du point de vue de l'équilibre mécanique. Regardons l'exemple de la figure 15.

Figure 15: Un CDPR vue de dessus. Quels sont les câbles tendus ?

Sur cet exemple on voit que le point $B$ est dans le triangle $A_1A_2A_3$ (dont avec le câble 4 détendu) mais aussi dans le triangle $A_1A_2A_4$ (donc avec le câble 3 détendu). Et ce sera le cas pour tous les points $B$ sauf si $B$ est sur une diagonale ou sur un côté de la pièce, auquel cas on aura seulement 2 câbles tendus. En conséquence avec la seule connaissance approximative de la longueur des câbles on ne peut pas dire quels sont les câbles tendus puisqu'il y a 2 configurations possibles: on appelle configuration la séquence de nombre qui indique quels sont les câbles tendus et dans l'exemple nous avons comme configurations possibles 123 et 124. Cela a de l'importance parce que les tensions dans les câbles ne sont pas les mêmes pour les deux configurations comme vont différer l'influence des erreurs sur la longueur des câbles sur la position réelle de $B$ où les vitesses des câbles pour que le CDPR bouge à une vitesse donnée. Un autre effet va apparaître lors de la réalisation d'une trajectoire car lorsque l'on déplace le robot ces configurations peuvent changer. Sur l'exemple si l'on déplace $B$ vers $A_4$ la configuration 123 ne sera plus possible si $B$ dépasse la diagonale $A_1A_3$: le robot peut passer dans la configuration 134. Or si l'on était au départ dans la configuration 123 le câble 4 était détendu. Le CDPR va alors rester un instant sur la diagonale $A_1A_3$ le temps que le câble 4 se mette à la bonne longueur et le passage à la configuration 134 peut alors être relativement abrupt

Deux types de stratégies sont possibles:

• priorité à l'excellence: on peut volontairement fixer la configuration du CDPR parmi les deux possibles en choisissant celle qui est la meilleure selon un critère, par exemple celle présentant la tension maximale la plus faible. Dans notre exemple on peut imposer la configuration 123 en donnant comme longueur de consigne pour le câble 4 une valeur légèrement supérieure à celle requise. Si l'on exécute une trajectoire cette stratégie est un peu complexe: une configuration peut être la meilleure sur un bout de la trajectoire mais ne plus être faisable après ou bien au delà de ce bout une autre configuration devient la meilleure. Cela va imposer de changer de configuration au cours de l'exécution de la trajectoire, introduisant une rupture dans la continuité du mouvement
• priorité à la continuité: on va assurer que les câbles sont toujours proches d'une situation tendue en utilisant des mesures additionnelles à celles de la longueur des câbles. On n'est peut être pas dans la meilleure des configurations lors de la trajectoire mais on évitera ou réduira les délais et les mouvements parasites. Nous examinerons dans la section suivante et les sections 8, 9 comment cela est possible

Un CDPR est donc un peu comme la structuration du monde de la recherche: on peut viser l'excellence, mais selon un critère bien arbitraire, en risquant de provoquer des ruptures ou bien favoriser le mouvement continue vers l'objectif , même si celui-ci change.

: On rajoute à notre exemple générique un 4ème câble avec $A_4=(2.5,2.5,4)$. Pour la position de $B$=(-2,-1,2) on calculer pour toutes les combinaisons de 3 câbles (donc 123,124,134,234) quels sont les tensions dans les câbles pour une charge de 1 en résolvant le système linéaire (3). On trouve

configuration 123 f: 0.609303 0.764853 0.257391
configuration 124 f: 0.406202 0.892328 0.302076
configuration 134 f: 1.827909 1.801735 -1.812457
configuration 234 f: 1.147279 -0.514782 0.906228
On voit bien que le système est en équilibre avec des câbles tendus (donc les $f_i$ tous positifs) pour 2 configurations: 123 et 124. On voit cependant que dans la configuration 124 le câble ayant la tension maximum a une tension 16% plus élevée que l'équivalent dans la configuration 123.

Le calcul a été fait ici en supposant que les longueurs des câbles étaient la longueur exacte des câbles. Supposons maintenant qu'il y ait respectivement des erreurs de 2cm, -1.5cm, 1cm, -1.5cm sur les câbles 1, 2, 3, 4. En utilisant ces estimations on peut calculer la position de $B$ pour les configurations 123 et 124. On obtient (-2.017932 -1.023914 1.996872) et (-1.965610 -1.023914 2.010192). On voit donc qu'il y aura une différence sensible dans l'estimation de la position de $B$ selon la configuration choisie pour le calcul.

6.3 Détecter les câbles non tendus ?

Idéalement on aimerait que les câbles qui ne participent pas à l'équilibre mécanique du CDPR aient une longueur proche de leur longueur tendue. Ceci en particulier éviterait des changements abrupts de la position de $B$ lors des changements de configuration. A ce stade du mode opératoire notre information dérive de l'évaluation des longueurs des câbles obtenues via les codeurs. A partir de cette information on dérive la position de $B$ mais nous avons déjà vu que selon les câbles qui sont utilisés pour cette dérivation on obtiendra des positions différentes pour $B$. Avec cette stratégie il est impossible de déterminer quels sont les câbles qui ne sont pas tendus avec la seule information (inexacte) de la longueur des câbles.

Intuitivement on pourrait penser que si l'on mesurait la tension dans les câbles, c'est-à-dire la force que le câble exerce sur la charge, on pourrait savoir quels câbles sont tendus. Malheureusement la pratique a montré que cette mesure est délicate et très bruitée (la mesure ne reflète que mal la vraie valeur de la tension).

Heureusement la mesure des tensions n'est pas la seule solution pour détecter les câbles non tendus et les sections suivantes vont proposer différentes approches pour améliorer le fonctionnement d'un CDPR. Les diverses solutions proposées sont encore du domaine de la recherche (même si elles ont été testées sur nos prototypes MARIONET) et leur compréhension peut, dans certains cas, nécessiter une bonne compétence scientifique. Le lecteur plus intéressé dans la réalisation d'un CDPR de démonstration ou pédagogique pourra, pour une première lecture, passer directement à la section 10.