Comportement asymptotique des pôles

Dans cette partie, nous allons exposer comment les équations aux points critiques peuvent être interprétées comme une relation dite d'orthogonalité non hermitienne, et comment par le biais de cette dernière forme, la répartition des pôles se retrouve étroitement liée aux propriétés géométriques du contour d'intégration  $\mathcal C$ et, par voie de conséquence, à celles de la fissure.

   
Un cas particulier: Lorsque la fissure est portée par un diamètre du disque $\mathbb{D}$

Le premier résultat que nous allons présenter ici se place sous l'hypothèse particulière que la fissure $\gamma$, après application conforme du domaine D sur le disque unité $\mathbb{D}$, est un segment [b,c]porté par un diamètre du disque $\mathbb{D}$ (on effectuera au besoin une rotation du disque pour se ramener à $[\gamma_0,\gamma_1]=[b,c]\subset(-1,1)$).
La décomposition (3.8) devient alors

$$f(z)=g(z)+\frac{1}{2i\pi}\int_b^c{\frac{\sigma(t)}{t-z}dt}$$ (6.34)

et les pôles de l'approximant méromorphe AAK, comme ceux de l'approximant rationnel L² seront ceux de la partie singulière de f, donc ceux de

$$S(z)=\frac{1}{2i\pi}\int_b^c{\frac{\sigma(t)}{z-t}dt}.\\$$ (6.35)

Conséquences sur les approximants AAK

Sous les hypothèses énoncées ci-dessus, nous présentons le résultat suivant :

 



Ce résultat sur le meilleur approximant $H^\infty _N$ est décrit dans [15].

Conséquences sur les approximants rationnels L²

A l'aide de notre relation d'othogonalité, nous allons montrer ici que le résultat obtenu pour les approximants AAK reste vrai dans le cadre L², pourvu que l'on considère les approximants rationnels à coefficients de Fourier réels. En effet, il n'est pas clair que les meilleurs approximants L² d'une fonction symterique conjuguée de type (3.54) sur l'axe soient aussi à coefficients réels. Le résultat s'énonce donc ainsi :

 

   
Cas où le contour est un arc de géodésique hyperbolique

Dans ce qui suit, on adoptera une forme un peu plus générale de notre relation d'orthogonalité (3.44) en la réécrivant comme suit :

$$\int_\mathcal C{\frac{q(\xi)}{\widetilde{q}^{2}(\xi)}\xi^k w(\xi)d\mu(\xi)}=0, \qquad k=0,\dots,n-1,$$ (6.36)

où $\mu$ une mesure positive sur $\mathcal C$, cependant que $w \in L^1(\mu)$.

Une géodesique hyperbolique dans $\mathbb{D}$ est un arc de cercle orthogonal à $\mathbb{T}$. Pour tout $\alpha \in \mathbb{D}$, on peut aisément vérifier que le lieu des points du disque qui voient la corde $[\alpha,1/\overline{\alpha}]$ sous un angle congru à $\theta_0$ modulo $\pi$, est une géodesique passant par $\alpha$, image de [-1,1] par la transformation de Möbius

$$\phi_{a,u}(t)=u\frac{t-a}{1-\overline{a}t},~~~{\rm avec~}a=\... ...i\theta_0} \in \mathbb{D},~~{\rm et}~u=-\alpha/a\in\mathbb{T}.$$ (6.37)

Un arc géodesique $\mathcal C$ dans $\mathbb{D}$ sera donc l'image d'un segment réel $[b,c] \subset (-1,1)$ par une telle application.

Nous allons montrer ici comment une relation de type (3.59) peut, si $\mathcal C$ est un arc géodésique, se ramener à une relation analogue sur l'axe réel.
Supposons en effet que $\phi_{a,u}$ envoie $[b,c] \subset (-1,1)$ sur ${\cal C}$. La relation (3.59) se réécrit :

$$\int_b^c{\frac{q(\phi_{a,u}(t))}{\widetilde{q}^{2} (\phi_{a,... ...(t)w(\phi_{a,u}(t))d\widehat{\mu}(t)}=0, \qquad k=0,\dots,n-1,$$ (6.38)

où $\widehat{\mu}$ est la mesure image de $\mu$ sur $\phi_{a,u}^{-1}(\mathcal C)=[b,c]$.

Notons h_j les coefficients de q_net posons

$$Q_n(t)=(1-\overline{a}t)^n q(\phi_{a,u}(t))= \sum_{j=0}^n{u^j h_j(t-a)^j(1-\overline{a}t)^{n-j}} \in {\mathcal P_n},$$ (6.39)

de sorte que

$$\widetilde{Q_n}(t)=\sum_{j=0}^n{\overline{u^{j}h_j} (t-a)^{n-j}(1-\overline{a}t)^{j}}.$$ (6.40)

Comme u est de module 1, on a $\overline{u^j}=u^{-j}$, d'où

$$\widetilde{Q_n}(t)=u^{-n}\sum_{j=0}^n{u^{n-j}\overline{h_j} (t-a)^{n-j}(1-\overline{a}t)^{j}}.$$ (6.41)

De ce fait, on peut aisément vérifier que

$$\frac{q(\phi_{a,u}(t))}{\widetilde{q}(\phi_{a,u}(t))}=u^{-n}\frac{Q_n(t)} {\widetilde{Q_n}(t)}.$$ (6.42)

Enfin, en remarquant que

$$\frac{\phi^k_{a,u}(t)}{\widetilde{q_n}(\phi_{a,u}(t))}=\frac{... ...u^{k-n} (1-\overline{a}t)^{n-k}(t-a)^{k}}{\widetilde{Q_n}(t)},$$ (6.43)

on peut réécrire la relation (3.61) ainsi :

$$\int_b^c{\frac{Q_n(t)}{\widetilde{Q_n}^2(t)}w(\phi_{a,u}(t)) ... ...a}t)^{n-k}(t-a)^{k}d\widehat{\mu}(t)}=0, \qquad k=0,\dots,n-1.$$ (6.44)

Or, la famille

$$\{(1-\overline{a}t)^{n-k-1}(t-a)^k\}_{k=0,\dots,n-1}$$ (6.45)

engendre l'espace $\mathcal P_{n-1}(t)$. Ceci peut se voir en notant que les polynômes en question sont bien dans cet espace et sont au nombre de n (ce qui est la dimension de l'espace). Il suffit donc de montrer qu'ils sont indépendants.
Pour prouver cela, supposons qu'il existe une combinaison linéaire

$$\sum_{k=0}^{n-1}{d_{k}(1-\overline{a}t)^{n-k-1}(t-a)^k}=0$$ (6.46)

avec certains d_k non nuls.
Cette égalité implique que

$$d_{0}(1-\overline{a}t)^{n-1}=-(t-a)\sum_{k=1}^{n-1}{d_{k} (1-\overline{a}t)^{n-k-1}(t-a)^{k-1}},$$ (6.47)

or il est clair que (t-a) ne divise pas $(1-\overline{a}t)^{n-1}$ et l'on peut alors conclure que d₀=0.
De ce fait,

$$\sum_{k=1}^{n-1}{d_{k}(1-\overline{a}t)^{n-k-1}(t-a)^{k-1}}=0$$ (6.48)

et on peut procéder par récurrence pour obtenir que tous les d_ksont nuls, ce qui entraîne l'indépendance souhaitée. Finalement, notre équation aux points critiques (3.61) est donc équivalente à

$$\int_b^c{\frac{Q_n(t)}{\widetilde{Q_n}^2(t)} w(\phi_{a,u}(t))(1-\overline{a}t)t^{k}d\widehat{\mu}(t)}=0,\qquad k=0,\ldots,n-1.$$ (6.49)

En posant

$$\widehat{w}(t)=w(\phi_{a,u}(t))(1-\overline{a}t),$$ (6.50)

on obtient notre équation sous la forme :

$$\int_b^c{\frac{Q_n(t)}{\widetilde{Q_n}^2(t)}t^k \widehat{w}(t)d\widehat{\mu}(t)}=0, \qquad k=0,\ldots,n-1.$$ (6.51)

C'est cette dernière forme que nous allons exploiter dans le paragraphe suivant, afin d'énoncer un résultat sur la localisation des pôles de nos approximant.

Equation d'orthogonalité non hermitienne

Introduisons quelques notations qui seront souvent utilisées dans ce qui suit.
Pour tout intervalle réel I, on notera l(I) sa longueur.
Pour toute fonction f à valeurs complexes définie sur un intervalle I, on notera V_I(f) sa variation :

$$V_I(f)=\sup_P\sum_k{\left\vert f(x_k)-f(x_{k+1})\right\vert}$$ (6.52)

où P est l'ensemble des suites finies de points $x_0<x_1<\dots<x_n$ de I.
Pour tout ensemble E, on désignera par $\char93 E$ le cardinal de E.
Pour $\mu$ une mesure sur un ensemble E, on désignera par $L^1{(\mu)}$l'espace des fonctions à valeurs complexes qui sont intégrables par rapport à $\mu$.

  

  

             

   
Application à la détection de fissure

Comme nous venons de le voir dans ce qui précède, les techniques d'approximation rationnelle et méromorphe nous fournissent en principe un moyen peu coûteux de détecter la présence d'une fissure.

Si celle-ci se trouve sur un diamètre du cercle, il est aisé d'interpréter les résultats présentés en 3.2.1 de manière physique. On voit ainsi que, sous des conditions de régularités suffisantes, tous les pôles de nos approximants AAK seront sur la fissure $\gamma$, à l'exception d'un nombre au plus égal au nombre de changements de signe sur $\gamma$ du saut de température $\sigma=u^+-u^-$.

Notons de plus que le théorème 13 nous indique que si w est réelle et de signe constant sur un segment réel $\gamma$, tous les pôles d'un approximant au sens L² sont sur $\gamma$, sans nécessité de contraindre q_n à avoir des coefficients réels. Ceci entraîne en particulier que le meilleur approximant depuis H²_Nd'une fonction de Markov dont la mesure satisfait les conditions du théorème 13 (cf [14] pour une version plus générale) a nécessairement des coefficients de Fourier réels, un fait qui n'est pas évident a priori (mais qui découle aussi de [8]) puisque, comme nous l'avons dit, le meilleur approximant rationnel L² d'une fonction dont les coefficients de Fourier sont réels ne vérifie pas automatiquement cette propriété.

Pour le problème inverse qui nous occupe, si $\sigma$ ne change pas de signe et que la fissure est sur l'axe réel, on en déduit pour l'approximation H²_N, toujours si $\sigma(t)dt$ vérifie les conditions de régularités imposées à $w(t)d\mu(t)$ dans le théorème 13, que tous les pôles sont situés sur la fissure comme ils l'étaient pour l'approximant depuis $H^\infty _N$.

Dans le cas plus réaliste où la fissure $\gamma$ n'est pas portée par un diamètre, l'interprétation est plus délicate. Si $\gamma$ est un arc de géodésique, les résultats énoncés en 3.2.2 vont pouvoir être appliqués comme nous le verrons. Toutefois, cette hypothèse est encore bien peu générale, et il convient de nous pencher sur la question de déterminer des conditions sous lesquelles on peut ``déformer'' le contour d'intégration $\mathcal C$pour le ramener à l'arc géodésique sus-cité.

En premier lieu, considérons le cas particulier dans lequel la fissure $\gamma$ est un segment de droite, non porté par un diamètre. Une fois cette droite orientée, notons $\Pi_+$ et $\Pi_-$ respectivement les demi-plans positifs et négatifs définis par cette orientation. Supposons sans perte de généralité que l'arc géodésique $\mathcal{G}$est situé dans $\Pi_-$. En remarquant que f est analytique jusqu'à $\gamma^o$ dans la région $\Pi_+$ et que sa partie imaginaire est constante sur $\gamma^o$ (puisque la dérivée de $\widetilde{u}^\pm$ le long de $\gamma^o$ n'est autre que $\partial u^\pm / \partial n^\pm = 0$ d'après la condition de Neumann), on voit que l'on peut la prolonger analytiquement à travers $\gamma^o$en utilisant le principe de réflexion de Schwarz.
Par conséquent, $\sigma=f^+-f^-$ s'étend analytiquement sur un voisinage de $\gamma^o$ dans $\Pi_-$, ce qui permet de déformer de manière correspondante le contour d'intégration de la transformée de Cauchy (3.9) donnant la partie singulière de f. Cependant, rien ne dit que le prolongement analytique de $\sigma$ ainsi obtenu s'étend jusqu'à $\mathcal{G}$. En fait, par notre manière même de procéder, il faut et il suffit pour qu'il en soit ainsi que le domaine d'analyticité de f⁺contienne le réflechi de $\mathcal{G}$ à travers la droite définie par $\gamma$. Ceci n'est pas automatique car si $\gamma_0$ et $\gamma_1$ sont proches du cercle unité $\mathbb{T}$ tout en étant très rapprochés, le symétrique de $\mathcal{G}$ par rapport à $\gamma^o$ peut ne pas être inclus dans le disque unité, comme on peut s'en convaincre facilement. Ainsi, même dans le cas simple où $\gamma^o$ est un segment, il peut être nécessaire de faire des hypothèses additionnelles sur la régularité de f, et donc de u, pour pouvoir assurer que l'intégrale de Cauchy (3.9) peut être remplacée par une intégrale de Cauchy du prolongement de $\sigma$ sur l'arc géodésique $\mathcal{G}$. Par exemple, dans la situation qui nous occupe, il est suffisant de supposer que u est harmonique (et donc f analytique) sur un disque de rayon $\sqrt{2}$ privé de $\gamma$ pour que l'on puisse procéder à la déformation désirée.

En second lieu, lorsque $\gamma$ n'est plus un segment de droite mais l'image par une application de paramétrage d'un segment réel, qu'on peut sans perte de généralité supposer être [0,1], le cas le plus général que nous envisagerons est celui où l'on peut se ramener, par changement de variable analytique, à argumenter comme on l'a fait précédemment dans le cas d'un segment de droite. Plus précisément, on a le théorème suivant :
 

En pratique, l'application du théorème 14 à une fissure $\gamma$ donnée se fait ainsi :

1.

On vérifie que le paramétrage $P:[0,1]\rightarrow\gamma$définissant $\gamma$ s'étend analytiquement et injectivement à un domaine suffisamment vaste pour contenir le symétrique par rapport à l'axe réel de l'image réciproque de $P^{-1}(\mathcal{G})$.

2.

On choisit un flux qui s'étend harmoniquement sur la partie de l'image du paramétrage P qui n'est pas contenue dans $\mathbb{D}$.

C'est notre souci de satisfaire cette deuxième condition, sans trop avoir à se préoccuper de la géométrie de la fissure, qui nous a motivé pour choisir, lors des expérimentations numériques du chapitre 4 des flux qui sont des polynômes trigonométriques. Il reste à trouver des critères pour que la première condition soit satisfaite. Evidemment, si la fissure est un segment de droite ou de cercle, de sorte que P est une tranformation linéaire fractionnaire, ce sera toujours le cas. Nous donnons ci-après trois résultats, chacun de nature légèrement différente des deux autres, qui permettent de conclure, pour certains types de fissures plus généraux, que la première condition est satisfaite.

  

Dans le résultat précédent, il n'est pas important que P soit un polynôme, hormis le fait qu'il définit un revêtement de $\mathbb{C}$. Un autre résultat, plus classique, qui permet de contrôler le domaine d'univalence d'un polynôme, cette fois en fonction du degré, est le suivant.
 

L'usage que l'on fait de ces deux lemmes pour notre problème est le suivant :

   
Soulignons à nouveau que si $\gamma$ est paramétrée par un polynôme sur un segment autre que [0,1], il est toujours possible de renormaliser l'intervalle de paramétrage en le segment [0,1]tout en conservant le caractère polynomial de ce paramétrage (l'effet se répercutant alors sur P'(0)).

La condition (3.133) ainsi que la condition (3.134) indiquent toutes deux, en des sens différents, que la fissure ne diffère pas trop d'une droite : dans le cas (i), P'(z) ne doit pas trop varier dans $\mathcal{B}_{0,d}$et dans le cas (ii), n ne doit pas être trop grand par rapport à R|P'(0)| qui renseigne sur la taille de la fissure.

Pour achever la présente analyse du contenu du théorème 14, donnons à présent un résultat plus fin et entièrement géométrique qui nécessite que l'image du paramétrage P submerge $\mathbb{D}$ mais en contrepartie impose uniquement des conditions sur le diamètre hyperbolique des composantes connexes de $\gamma \setminus \mathcal{G}\bigcap \gamma$. Rappelons que la distance hyperbolique entre deux points z₁ et z₂de $\mathbb{D}$ est donnée [43,30] par

$$d_\mathbb{D}(z_1,z_2)={\rm \,Arctanh\,}\left\vert\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right\vert.$$ (6.53)

 

      

Ayant à notre disposition, avec les théorèmes 15 et 16, quelques outils pour assurer que les conclusions du théorème 14 sont satisfaites, nous allons, pour le reste de ce chapitre, nous placer systématiquement dans une situation où l'on peut appliquer ledit théorème, et en analyser les conséquences pour ce qui est du comportement asymptotique des pôles des approximants méromorphes et rationnels, depuis $H^\infty _N$ et H²_Nrespectivement, au regard de l'arc géodésique $\mathcal{G}$ joignant les extrémités de la fissure $\gamma$ dans $\mathbb{D}$. Sous les conditions de ce théorème, le contour d'intégration $\mathcal C$dans (3.12) peut être ramené à un arc géodésique  $\mathcal{G}$et alors cet arc géodésique se comporte comme un lieu d'accumulation pour les pôles de nos approximants, comme nous allons le voir maintenant.

Dans le cas des approximants L², il apparaît en effet que la fonction w dans l'expression (3.84) est indépendante de n. D'après (3.44) et (3.73), celle-ci est construite par une composition du prolongement analytique du saut de température $\sigma$ introduit dans le théorème 14 et d'une transformation de Möbius. Par l'assertion (ii) dudit théorème, les hypothèses du théorème 13 concernant w sont satifaites, et on en déduit que le nombre de pôles hors d'un voisinage $\mathcal{V}$ sera fini et indépendant de n.

Dans le cas des approximants AAK, les choses sont un peu plus compliquées. Comme la relation (3.52) le montre, ici, notre w fait intervenir un facteur w_N (facteur extérieur de notre vecteur singulier) qui dépend de l'ordre N de l'approximation. Ce fait ne sera toutefois pas trop pénalisant puisque l'on peut prouver que w_N^1/N converge localement uniformément vers 1 lorsque $N \to \infty$ et que ceci entraîne que son argument est un ${\bf o}(N)$, ce qui combiné avec notre résultat assure donc là encore une convergence asymptotique des pôles dans notre voisinage $\mathcal{V}$.

Ce dernier résultat est prouvé pour une fonction avec deux points de branchement et dans une version plus générale qui concerne les approximants H_N^p, pour $p \ge 2$, dans un article à paraître de L. Baratchart et F. Seyfert [18]. Par commodité pour le lecteur, nous reproduisons ici les arguments de cette preuve en les adaptant à notre cas, à savoir $p=\infty$ et une singularité en racine carrée aux extrémités. Rappelons simplement qu'une famille normale de fonctions sur un domaine ${\cal D} \subset \overline{\mathbb{C}}$ est une collection de fonctions analytiques uniformément bornées sur tout compact. Par un théorème classique de Montel [46], une telle famille est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de $\cal D$.

 

         

On peut voir de ce fait que, autant pour l'approximation H²_N que pour l'approximation $H^\infty _N$, dès lors que le problème satisfait l'une des hypothèses de régularité énoncées plus tôt, l'arc géodésique se présente comme un lieu d'accumulation asymptotique pour les approximants méromorphes.

Les techniques employées ici sont utilisées dans [18] pour obtenir que la répartition asymptotique des pôles converge au sens faible-* vers la distribution des charges à l'équilibre dans un condensateur formé par le couple $(\mathbb{T},\mathcal{G})$.

Toutefois, si les techniques en questions sont analogues aux nôtres, il convient de remarquer qu'elles diffèrent de cette dernière par le choix du vecteur v_N. L'article sus-mentionné considère en effet un vecteur v_N dont les zéros sont exactement les pôles de l'approximant g_N (l'existence d'un tel vecteur singulier découle d'un théorème de De Leuwe-Rudin [30] et est démontrée dans l'article). Les résultats étant prouvés sur les zéros de ce vecteur, ils le sont de facto sur les pôles.

Afin de simplifier la preuve, nous avons pour notre part choisi v_N tel qu'il satisfasse (3.152). Une conséquence directe de ce choix est que nous ne pouvons plus assurer de cette manière que, si la valeur singulière s_Nassociée à un tel v_N est multiple, tous les zéros d'un tel vecteur sont des pôles. En fait, on peut même facilement vérifier que cette assertion n'est jamais vraie dans ce cas. En d'autres termes, dès lors que s_N est multiple, le vecteur v_N ainsi choisi possède toujours un ou plusieurs zéros dans $\mathbb{D}$ qui ne sont pas des pôles.

Si ce point n'affecte pas le résultat du théorème 13 (la borne absolue portant sur les zéros hors d'un voisinage $\mathcal{V}$ reste vraie a fortiori pour les pôles), ceci peut sembler plus problématique dès lors que l'on étudie la répartition asymptotique des pôles, la proportion de zéros non-pôles pouvant altérer le résultat.
Nous allons voir ici qu'il n'en est rien, en prouvant que le nombre de ces zéros qui ne sont pas des pôles est en réalité borné quand $N \to \infty$.

Pour voir ceci, prenons s_n une valeur singulière multiple (n est choisi tel que s_n-1>s_n) et prenons à présent un vecteur singulier v_nassocié à cette valeur singulière et tel que tous les zéros de v_nsoient exactement les pôles de l'approximant g_n. Naturellement, v_n se décompose en facteurs intérieur/extérieur sous la forme v_n = b_nw_n où $b_n=q/\widetilde{q}$ (avec q le polynôme monique ayant pour racines les pôles de l'approximant AAK) mais ce v_nne satisfait pas une relation du type (3.152), comme nous l'avons mentionné précédemment. D'après [2,18], un tel vecteur v_n existe et l'on a

$$H_f v_n(z) = s_n \frac{1}{z}\overline{b_{n}w_n}\left(\frac{1}{z}\right) \frac{Q}{\widetilde{Q}}(z), %$$ (6.54)

où Q est un polynôme monique ayant ses racines hors de $\overline{\mathbb{D}}$. On notera K son degré.
En réécrivant cette égalité sous forme intégrale et en appliquant le même cheminement que pour obtenir (3.50), on obtient

$$2i\pi s_n \overline{b_{n}w_n}(z) \frac{Q}{\widetilde{Q}}\lef... ...frac{\sigma(\xi)v_n(\xi)}{z\xi-1}}d\xi, \qquad z\in\mathbb{D}.$$ (6.55)

En évaluant ceci sur les racines du membre de gauche, on obtient la relation

$$\int_\mathcal C{\frac{\sigma(\xi)w_n(\xi)q(\xi)P_{n+K-1}(\xi)... ...(\xi) Q(\xi)}}\,d\xi=0, \qquad P_{n+K-1}\in\mathcal P_{n+K-1}.$$ (6.56)

De manière analogue à la majoration (3.120), on voit alors que

$$V_{(b,c)}\left(\arg\frac{q}{\widetilde{q}^2}\right) + V_{(b,c... ...arg \sigma\right) + V_{(b,c)}\left(\arg Q\right) \ge (n+K)\pi,$$ (6.57)

soit encore

$$K\pi - V_{(b,c)}\left(\arg Q\right) \le V_{(b,c)}\left(\arg\f... ...eft(\arg w_n\right) + V_{(b,c)}\left(\arg \sigma\right)- n\pi.$$ (6.58)

Or, puisque $V_{(b,c)}\left(\arg(q/\widetilde{q}^2)\right)\le n\pi$, ceci devient

$$K\pi - V_{(b,c)}\left(\arg Q\right) \le V_{(b,c)}\left(\arg w_n\right) + V_{(b,c)}\left(\arg \sigma\right).$$ (6.59)

Enfin, en remarquant que les racines $\tau_j$ de Q sont hors du disque, on voit que leur contribution à la variation de l'argument est telle que

$$V_{(b,c)}(\arg Q)=V_{(b,c)} \left(\arg\prod_{j=1}^{K}(t-\tau_j)\right) < K\frac{\pi}{2},$$ (6.60)

ce qui nous donne finalement

$$K\frac{\pi}{2} < V_{(b,c)}\left(\arg w_n\right)+V_{(b,c)}\left(\arg \sigma\right).$$ (6.61)

Comme nous l'avons vu plus haut, cette dernière quantité est bornée, ce qui nous donne en conclusion préliminaire que K, le degré de Q, est borné.

Rappelons à présent que, même en présence de valeurs singulières multiples, l'approximant g_n ne dépend pas du choix du vecteur singulier v_n par l'unicité du meilleur approximant dans la théorie AAK. Si donc on note ${\cal I}$ l'indice par rapport à l'origine, l'indice ${\cal I}(f-g_n)$ de l'erreur d'approximation s'exprime comme

$${\cal I}(f-g_n) = {\cal I}\left(\frac{H_f v_n}{v_n}\right) = {\cal I}\left(\frac{H_f u}{u}\right),$$ (6.62)

où u=bw est un vecteur singulier satisfaisant la condition (3.152) et où b et w représentent ses facteurs intérieur et extérieur respectivement.
Ici, l'indice existe de façon très générale, en vertu du fait que f-g_n est inversible dans $H^\infty + C(\mathbb{T})$, et il peut se calculer comme l'indice de son extension de Poisson sur des cercles de rayon r<1, pourvu que r soit assez proche de 1 [42].
Comme on peut aisément le voir,

$$\frac{H_f u}{u}(z) = s_n\frac{\overline{w}(1/z)}{zw(z)b^2(z)}$$ (6.63)

et

$$\frac{H_f v_n}{v_n} = s_n\frac{\overline{w_n}(1/z)}{zw_n(z)} \frac{Q}{b_n^2\widetilde{Q}}(z).$$ (6.64)

Pour obtenir l'indice de

$$\frac{\overline{w_n}(1/z)}{w_n(z)}$$ (6.65)

et de

$$\frac{\overline{w}(1/z)}{w(z)},$$ (6.66)

rappelons que, puisque v vérifie (3.152), alors wsatisfait (3.167). D'autre part, étant donné que w_nvérifie (3.172), il devient clair que w et w_n sont toutes deux analytiques dans un voisinage du disque fermé  $\overline{\mathbb{D}}$.
Alors leurs zéros sur $\mathbb{T}$ sont en nombre fini, et l'on peut décomposer (3.182) et (3.183) comme le produit d'une fonction sans zéro dans le disque et d'un nombre fini de facteurs de la forme $(1/z-\bar{\xi_k})/(z-\xi_k)$ pour $\xi_k\in\mathbb{T}$. Or chacun de ces facteurs est égal à $-1/z\xi_k$ dans un voisinage du cercle $\mathbb{T}$ privé de $\xi_k$ (et s'étend à tout le voisinage par analyticité).
De ce fait, l'indice ${\cal I}$ d'un tel facteur est -1 et par suite, on peut conclure que l'indice

$${\cal I}\left(\frac{\overline{w_n}(1/z)}{w_n(z)}\right)=-{\mathcal Z}(w_n)$$ (6.67)

où ${\mathcal Z}(w_n)$ désigne nombre de zéros de w_n sur $\mathbb{T}$, qui est borné de manière indépendante de n, d'après le thèorème 17, et de même pour w.
Par conséquent, l'égalité des indices s'exprime par

$${\mathcal Z}(w_n) + 2n + K = {\mathcal Z}(w) +2n + 2e,$$ (6.68)

où e est le nombre de zéros de v dans $\mathbb{D}$ qui ne sont pas des pôles de g_n. Alors, on voit que

$$2e = {\mathcal Z}(w_n) + K - {\mathcal Z}(w),$$ (6.69)

qui sont des quantités bornées indépendamment de nd'après (3.178), ce qui est donc aussi le cas pour e et prouve donc ce que nous souhaitions.

En résumé, il est donc possible d'affirmer que les pôles de nos deux types d'approximants de degré n s'accumulent, lorsque $n \to \infty$, vers l'arc géodésique  $\mathcal{G}$ joignant les deux points extrémaux de la fissure $\gamma$ et même, d'après le résultat de [14] que nous n'avons pas présenté ici, que la densité asymptotique des pôles sur ce contour est égale à la distibution d'équilibre du condensateur  $(\mathbb{T},\mathcal{G})$.
Toutefois, la convergence des pôles dans le voisinage est dans les deux cas une convergence asymptotique, et nous ne disposons pas de résultat quantitatif général sur la vitesse de convergence des pôles en fonction du degré n de l'approximation. Néanmoins, les expérimentations numériques présentées dans le chapitre suivant semblent indiquer une convergence assez rapide.

On pourra considérer un autre problème. Les résultats présentés ici pourraient en effet apparaître comme difficilement applicables dans la mesure où l'on suppose une connaissance des données sur tout le bord extérieur. C'est pour cette raison qu'il nous semble important de relier ces travaux avec un résultat présenté d'autre part par L. Baratchart, J. Leblond et J. Partington [16]. Cet article présente une méthode permettant d'obtenir le meilleur approximant AAK à partir du même type de données surdéterminées u et $\Phi$, mais sur seulement une partie de la frontière extérieure $\Gamma$. Ces résultats nous permettent donc d'envisager une identification de la fissure à partir de données partielles, sous une connaissance a priori de conditions raisonnables sur la partie du bord non accessible.