D'une intégrale de Cauchy à la relation d'orthogonalité

Considérons, sur la frontière extérieure $\Gamma$ d'un domaine $D_\gamma$ fissuré en $\gamma$, une fonction F construite à partir de données $(u,\Phi)$ par la formule (2.16). F est alors la trace d'une fonction analytique f de type (2.14). Nous allons présenter ici une représentation de cette fonction f, et plus particulièrement de sa partie singulière, par les résultats suivants.

 

  

  

 

 

Pour nous ramener à une interprétation physique, on voit que dans le cadre d'une équation de la chaleur, $\sigma$ s'interprête comme un saut de température au travers de la fissure $\gamma$ qui agit comme un isolant parfait.

Enfin, on remarquera que comme $f^{\pm}$ peut être prolongée analytiquement au travers de $\gamma$, on peut prolonger $\sigma$ (parce que $\sigma=f^+-f^-$, comme l'indique la remarque 3) en déformant $\gamma$ analytiquement vers un arc voisin $\mathcal C$ joignant $\gamma_0$ à $\gamma_1$, de sorte à obtenir

$$f(z)=g(z)+\frac{1}{2i\pi}\int_\mathcal C{\frac{\sigma(\xi)}{\xi-z}d\xi}, \qquad z~\in~D~\setminus~\mathcal C.$$ (6.1)

Il est important de souligner que si $f^{\pm}$ peut se prolonger au travers de $\gamma$, les valeurs de celle-ci de part et d'autre du contour ne coïncident pas pour autant (sauf aux extrémités), f étant multivaluée.
La question à considérer est alors de savoir jusqu'où il est possible de déformer notre contour d'intégration $\mathcal C$ tout en conservant notre décomposition.
Cette question délicate mais centrale pour notre propos sera abordée plus tard, afin d'établir sous quelles conditions le contour $\mathcal C$pourra être ramené à un contour bien particulier pour le problème qui nous intéresse : un arc de géodésique hyperbolique, c'est à dire, dans le cas du disque $\mathbb{D}$, un arc de cercle orthogonal à $\mathbb{T}$joignant $\gamma_0$ et $\gamma_1$.

Pour l'heure, forts de cette décomposition, nous allons voir dans ce qui suit qu'elle entraîne une relation dite ``d'orthogonalité (non hermitienne)'' sur notre contour $\mathcal C$, valable pour les deux types d'approximants H^p_N de F, pour p=2 ou $\infty$.

Approximation rationnelle L² de la fonction F

Soit f comme définie en (2.14). Comme nous l'avons souligné en 2.3, le meilleur approximant $g_N \in H^2_N$ de f est g_N = P_H²(f)+r_N où $r_N \in R_N$ est le meilleur approximant de $P_{\overline{H^2}}(f)$.
De ce fait, en observant la décomposition (3.12), et puisque $g\in H^\infty \subset H^2$, il apparaît que trouver le meilleur approximant dans H²_N de f revient à trouver le meilleur approximant dans R_N de sa partie singulière

$$S(z) = \frac{1}{2i\pi}\int_\mathcal C{\frac{\sigma(\xi)}{\xi-z}d\xi},$$ (6.2)

où $\mathcal C$ est un arc de Jordan inclus dans $\mathbb{D}$.

Dans la mesure où l'on ne cherche à étudier que les pôles de notre approximant, nous pouvons donc nous ramener dans ce qui suit au cas pour lequel g=0, et chercher directement le meilleur approximant rationnel de $S \in \overline{H^2}$.
On désignera par $\mathcal P_n$ l'espace des polynômes de degré au plus n à coefficients complexes.
Notons p et q deux polynômes de degrés respectifs au plus n-1et n tels que p/q réalise le meilleur approximant rationnel de fau sens de la norme L², c'est-à-dire :

$$\left\Vert f-\frac{p}{q}\right\Vert _2^2=\min_{p_{n-1} \in \... ...cal P_n} {\left\Vert f - \frac{p_{n-1}}{q_n}\right\Vert _2^2}.$$ (6.3)

Il résulte facilement de l'analyticité de f pour $\vert z\vert\ge 1$ et de la relation de Parseval que p/q doit également être analytique pour $\vert z\vert\ge 1$ et que, de plus, $p/q(\infty)=f(\infty)=0$. Ainsi, ${\rm deg}p < {\rm deg}q$ et $p/q \in R_N$.

Comme on vient de le voir, si $f \notin R_{n-1}$ alors $\deg q = n$, on peut alors toujours supposer par normalisation que q est monique et écrire

$$q(z)=z^n+\sum_{j=0}^{n-1}q_jz^j \qquad {\rm et} \qquad p(z)=\sum_{k=0}^{n-1}p_kz^k.$$ (6.4)

En dérivant (3.14) par rapport aux p_k et aux q_j, on obtient les relations :

$$\left< f-\frac{p}{q},\frac{z^{k}}{q}\right>=0 \qquad k=0,\ldots,n-1,$$ (6.5)

et

$$\left< f-\frac{p}{q},\frac{z^{j}p}{q^2}\right>=0, \qquad k=0,\ldots,n-1.$$ (6.6)

Nous allons à présent démontrer que pour tout polynôme A_2n-1 de $\mathcal P_{2n-1}$, il existe B_n-1 et C_n-1, tous deux de degré au plus n-1, tels que

A_2n-1 = p B_n-1 + q C_n-1. (6.7)

Pour cela, remarquons dans un premier temps que $\mathcal P_{2n-1}$ est un espace vectoriel de dimension 2n sur le corps de ses coefficients. Il reste à montrer que les termes z^k p et z^j q ( $k,j = 0,\dots,n-1$) constituent une base de cet espace. Etant donné qu'il y a 2n termes, il suffit de vérifier que ceux-ci sont indépendants.

Supposons donc qu'il existe une combinaison linéaire non nulle les annulant. Ceci s'exprime aussi en écrivant qu'il existe deux polynômes Q et R(dont au moins l'un n'est pas nul) de degré au plus n-1 tels que

 

pQ + qR = 0. (6.8)

Or ceci traduit le fait que q divise pQ. Comme, d'après la proposition, p et q sont premiers entre eux, q divise alors Q, ce qui est impossible puisque le degré de q est strictement supérieur à celui de Q, qui est clairement non nul, d'après (3.27).

Les z^kp et z^jq, pour $k,j = 0,\dots,n-1$, forment donc une base de $\mathcal P_{2n-1}$, ce qui nous permet de réécrire la relation (3.24) sous la forme suivante :

$$\left< f-\frac{p}{q},\frac{A_{2n-1}}{q^2}\right>=0, \qquad A_{2n-1}\in\mathcal P_{2n-1}.$$ (6.9)

La fonction f-p/q est donc orthogonale à $\mathcal P_{2n-1}/q^2$. Montrons que l'on peut découper cet espace en une somme orthogonale :

$$\frac{\mathcal P_{2n-1}}{q^2}=\frac{\mathcal P_{n-1}}{q}\oplus\frac{\widetilde{q}\mathcal P_{n-1}} {q^2}.$$ (6.10)

Chacun des deux termes étant un sous-espace vectoriel de $\mathcal P_{2n-1}/q^2$ de dimension n, il reste à prouver leur orthogonalité, à savoir que

$$\left<\frac{z^j\widetilde{q}}{q^2},\frac{z^k}{q}\right>=0, \hspace{2cm} j,k = 0,\dots,n-1.$$ (6.11)

Ce produit scalaire s'explicite de la manière suivante :

$$\frac{1}{2i\pi}\int_\mathbb{T}{\frac{z^{j}\widetilde{q}(z)\overline{z}^{k}}{q^{2}(z) \overline{q(z)}}\frac{dz}{z}}.$$ (6.12)

Puisque l'on intègre sur le cercle unité, on remarque que $\overline{z}=1/z$, et par suite que $\widetilde{q}(z)=z^{n}\overline{q}(1/z)=z^{n}\overline{q}(\overline{z})=z^{n}\overline{q(z)}$, ce qui simplifie l'intégrale pour donner à (3.30) la forme équivalente :

$$\frac{1}{2i\pi}\int_\mathbb{T}{\frac{z^{n+j-k-1}}{q^{2}(z)}dz}=0.$$ (6.13)

Or la fonction z^n+j-k-1/q²(z) est analytique pour |z|>1. On peut donc agrandir le contour d'intégration en un cercle centré en zéro de rayon R pour tout R>1. Etant donné que q² est un polynôme de degré 2n, pour R assez grand, il existe donc une constante C telle que

$$\frac{1}{\vert q^2(Re^{i\theta})\vert} \le \frac{C}{R^{2n}}.$$ (6.14)

En conséquence de quoi il est possible de borner l'intégrale par C/Rpour tout R>1, ce qui entraîne que

$$\left<\frac{z^j\widetilde{q}}{q^2},\frac{z^k}{q}\right>=\frac{1}{2i\pi} \int_\mathbb{T}{\frac{z^{n+j-k-1}}{q^{2}(z)}dz}=0,$$ (6.15)

et nous permet de reformuler l'orthogonalité (3.28) ainsi :

$$\left< f-\frac{p}{q},\frac{A_{n-1}}{q}+\widetilde{q}\frac{B_{n-1}}{q^2}\right> =0, \qquad A_{n-1},B_{n-1}\in\mathcal P_{n-1}.$$ (6.16)

Cependant, la relation (3.30) implique

$$\left< \frac{p}{q},\widetilde{q}\frac{B_{n-1}}{q^2}\right>=0, \qquad B_{n-1}\in\mathcal P_{n-1}.$$ (6.17)

et en choisissant A_n-1=0, l'équation (3.35) conduit à

$$\left<f,\widetilde{q}\frac{B_{n-1}}{q^2}\right>=0, \qquad B_{n-1}\in\mathcal P_{n-1},$$ (6.18)

que l'on peut réécrire ainsi :

$$\frac{1}{2i\pi}\int_\mathbb{T}{f(z)\frac{\overline{\widetilde... ...}}} {\overline{q^{2}(z)}}\frac{dz}{z}}=0 \qquad k=0,\dots,n-1.$$ (6.19)

En utilisant à nouveau que $\overline{z}=z^{-1}$ sur $\mathbb{T}$, on a

$$\overline{\widetilde{q}(z)}=\overline{\overline{q}(z^{-1})z^{n}}= \overline{\overline{q}(\overline{z})z^{n}}=q(z)z^{-n}$$ (6.20)

et

$$\overline{q^{2}(z)}=\overline{q}^{2}(\overline{z})=\overline{q}^{2}(z^{-1})= \widetilde{q}^{2}(z)z^{-2n}.$$ (6.21)

On obtient donc que

$$\frac{1}{2i\pi}\int_\mathbb{T}{f(z)\frac{q(z)z^{n-1-k}}{\widetilde{q}^{2}(z)}dz}=0, \qquad k=0,\dots,n-1.$$ (6.22)

Remplaçons maintenant f par son expression (3.9), et rebaptisons n-1-k par l'indice k pour plus de lisibilité. Alors,

$$\frac{1}{2i\pi}\int_\mathbb{T}{\frac{1}{2i\pi}\int_\mathcal C... ...c{q(z)z^{k}} {\widetilde{q}^{2}(z)}dz}=0,\qquad k=0,\dots,n-1.$$ (6.23)

Par le thèorème de Fubini, ceci devient

$$\frac{1}{2i\pi}\int_\mathcal C{\left[\frac{1}{2i\pi}\int_\mat... ...ac{dz}{\xi-z}\right]}\sigma(\xi)\,d\xi=0,\qquad k=0,\dots,n-1.$$ (6.24)

Or les zéros de q sont dans $\mathbb{D}$, ce qui signifie que $\widetilde{q}$ ne s'annule pas dans $\mathbb{D}$. La fonction $z \mapsto q(z)z^{k}/\widetilde{q}^2(z)$est donc analytique dans le disque, et l'on peut alors appliquer la formule de Cauchy pour obtenir finalement l'équation :

$$\int_\mathcal C{\frac{q(\xi)}{\widetilde{q}^{2}(\xi)}\xi^{k}\sigma(\xi) d\xi}=0,\qquad k=0,\dots,n-1.$$ (6.25)

Cette équation, dite équation aux points critiques, traduit qu'un polynôme q de degré n est le dénominateur d'un fraction irréductible p/q qui est elle-même un point critique (i.e. un point où la dérivée s'annule) de (3.14), l'erreur en approximation rationnelle L².
Nous détaillerons dans les sections suivantes de quelle manière nous pouvons exploiter une telle relation afin d'obtenir des renseignements sur la position des pôles de notre approximant par rapport au contour $\mathcal C$.

Approximation méromorphe $L^\infty$ de la fonction F

Nous allons considérer ici g_N l'approximant AAK de degré N, toujours pour une fonction f telle que nous l'avons définie en (3.9). Puisque g est dans $H^\infty$, on peut constater que l'opérateur de Hankel H_f associé à notre fonction est l'opérateur de Hankel H_S associé à S définie en (3.13). De ce fait, les pôles de l'approximant g_N dépendent uniquement de la partie singulière S. Nous pourrons donc supposer, comme dans le cas précédent, que g=0 sans altérer notre résultat. Nous rappelons que l'approximant AAK est donné par la formule explicite

$$g_N = f - \frac{H_f v_N}{v_N},$$ (6.26)

pour tout vecteur singulier v_N associé à la valeur singulière s_Nde H_f.
En particulier, on peut toujours choisir un vecteur v_N vérifiant une relation de type

$$\pm s_N \overline{v_N}(1/z) = z(H_f v_N)(z).$$ (6.27)

Il suffit en effet de considérer le vecteur singulier $v_N=v_N^*/\Vert v_N^*\Vert _2$avec

$$v_N^*(z) = s_Nu_N(z)+\frac{1}{z}\overline{(H_f u_N)}\left(\frac{1}{z}\right)$$ (6.28)

si le vecteur singulier u_N ne satisfait pas déjà (3.46) avec le signe -.
En écrivant toujours cette même relation sous forme intégrale, on obtient

$$\pm s_N \overline{v_N}(1/z) = z\frac{1}{2i\pi}\int_\mathbb{T}{\frac{f(\eta)v_N(\eta)}{\eta-z}}d\eta.$$ (6.29)

En remplaçant f=S par son expression sous forme d'intégrale de Cauchy (3.13), cette relation devient

$$\pm 2i\pi s_N \overline{v_N}(1/z) = z \int_\mathbb{T}{\frac{1... ...C{\frac{\sigma(\xi)v_N(\eta)} {(\xi-\eta)(\eta-z)}}d\xi}d\eta.$$ (6.30)

En appliquant successivement le théorème de Fubini puis la formule de Cauchy et en remplaçant z par 1/z, on obtient

$$\pm 2i\pi s_N \overline{v_N}(z) = \int_\mathcal C{\frac{\sigma(\xi)v_N(\xi)}{z\xi-1}}d\xi, \qquad z\in\mathbb{D}.$$ (6.31)

Notons n le plus petit entier que s_n=s_N. De par la théorie AAK, on sait que v_N a au moins n zéros dans $\mathbb{D}$. Par ailleurs, il résulte de (3.50) que v_N est analytique à travers $\mathbb{T}$ de sorte que ce nombre de zéros, que nous noterons N₀, est fini. Désignons par $(\alpha_k)_{k=1,\ldots,N_0}$ cette suite de zéros qui contient nécessairement les pôles (Il est possible que certains des zéros en question se simplifient avec le numérateur ; ceci ne pourra toutefois pas arriver dès lors que la valeur singulière s_N est simple) de notre approximant g_N d'après la relation (2.28). En notant q le polynôme unitaire $q(z)=\prod_{j=1}^{N_0}(z-\alpha_j)$et en évaluant l'expression ci-dessus sur tous les points $\overline{\alpha_j}$, on obtient par combinaison linéaire que

$$\int_\mathcal C{\frac{\sigma(\xi)v_N(\xi)P_{N_0-1}(\xi)}{\tilde{q}(\xi)}}d\xi = 0$$ (6.32)

pour tout polynôme P_N0-1 à coefficients complexes.

Reste à décomposer notre vecteur singulier v_N en facteurs intérieur/extérieur $v_N=(q/\tilde{q})w_N$ pour obtenir une relation d'orthogonalité analogue à (3.44), soit

$$\int_\mathcal C{\frac{q(\xi)}{\widetilde{q}^{2}(\xi)}\xi^{k}w_N(\xi)\sigma(\xi) d\xi}=0,\qquad k=0,\dots,N_0-1.$$ (6.33)

On notera que le $\sigma$ du cas L² devient ici $w_N\sigma$ et dépend de ce fait de N. Nous verrons de quelle manière cette dépendance en N se répercute sur nos résultats et complique un peu l'approche AAK par rapport à l'approche L² du problème.
Nous prouverons aussi par la suite une autre propriété selon laquelle $N_0 \le n+C$ où C est une constante indépendante de n.