L'analyse complexe et l'équation de la chaleur

D'une manière analogue aux méthodes présentées dans le chapitre précédent, nous allons utiliser dans notre approche la dualité entre les données u et $\Phi$ sur le bord $\Gamma$ du domaine D.
Pour introduire cette dualité en termes d'analyse complexe, considérons une fonction u satisfaisant le système (1.1) pour un domaine D délimité par une frontière extérieure $\Gamma$ Hölder $C^{1,\alpha}$ ( $0<\alpha<1$) et pour une fissure $\gamma$ définie par un arc de Jordan $C^{1,\alpha}$ incluse dans $\mathbb{D}$ et n'intersectant pas sa frontière extérieure.
Nous entendons par ceci que $\gamma$ admet une paramétrisation de la forme $\gamma = \left\{\beta(t)~:~ t\in[0,1]\right\}$ telle que $\beta$admette, pour un $\epsilon>0$, une dérivée Lipschitz d'ordre $\alpha$sur $[-\epsilon,1+\epsilon]$.

Cette fonction u est alors harmonique dans $D_\gamma = D \setminus \gamma$et peut être vue comme étant la partie réelle d'une fonction fanalytique dans $D_\gamma$ et définie comme

$$f = u + i\tilde{u}$$ (5.14)

où $\tilde{u}$ désigne le conjugué harmonique de u dans $D_\gamma$ à une constante additive près.
Grâce à (1.2), la fonction $\tilde{u}$ ainsi définie est monovaluée dans ce même domaine et l'on a, d'après les équations de Cauchy-Riemann sur la frontière extérieure, la relation

$$\frac{\partial \tilde{u}}{\partial s} = \frac{\partial u} {\partial n_\Gamma} = \Phi$$ (5.15)

(où $\partial/\partial s$ désigne la dérivée tangentielle le long de $\Gamma$).
De telle sorte que f peut s'étendre sur le bord extérieur $\Gamma$du domaine de la manière suivante :

$$F(z)=f\vert _{\Gamma}(z) = u(z) + i\int_{a}^{z}{\Phi(w)\vert dw\vert}, \qquad z\in \Gamma$$ (5.16)

pour une constante a choisie arbitrairement, et en ajustant la constante de $\widetilde{u}$ de telle sorte que $F=f\vert _{\Gamma}$.
Le problème inverse que nous considérons peut alors être réécrit sous la forme suivante :

Connaissant F sur $\Gamma$, trouver un arc de Jordan $\gamma \in D$ tel que F soit la trace sur $\Gamma$ d'une fonction f analytique et bornée dans $D_\gamma$.

Nous pouvons d'ores et déjà remarquer que cette fonction F dans L^p est la trace d'une fonction $f \in H^p$ (p=2 ou $\infty$) si et seulement si la fissure $\gamma$ est vide ou confondue avec une ligne de niveau de f.

Une fois la présence d'une fissure établie (en choisissant un flux identifiant selon la méthode proposée en [28] par exemple), notre approche réside dans l'étude de différents types d'approximants de la fonction F sur la frontière extérieure $\Gamma$. Nous nous intéresserons plus particulièrement aux approximants rationnels ou méromorphes de F sur la frontière $\Gamma$ du domaine D, et de la façon dont les pôles de ces approximants nous fournissent une information sur l'existence et la position de la fissure $\gamma$.