Au fil de ces chapitres, nous avons vu que l'analyse complexe peut légitimement être envisagée comme un outil supplémentaire dans ce domaine vaste qu'est la détection de défauts dans les structures. Son mode d'approche la situe clairement parmi les techniques semi-explicites, et le coût relativement faible de ces méthodes permet de les envisager pour l'heure comme des méthodes d'initialisation et d'acquisition rapide d'informations préalables à des techniques d'identification plus précises. Ces recherches sont aussi à considérer comme l'ouverture vers une nouvelle approche utilisant plus intensément la palette d'outils relatifs à l'approximation fonctionnelle, ce comme autant de premiers pas vers une méthode d'identification complète.
Du point de vue de la théorie de l'approximation, nous soulignerons que la relation d'orthogonalité non hermitienne que nous utilisons tout au long de ces travaux se présente comme un analogue non linéaire de celle obtenue avec les polynômes orthogonaux, en étudiant les approximants de Padé.
A partir de ces points, plusieurs perspectives s'offrent naturellement à
nous. On pourra considérer comme objectif à venir de renforcer les
résultats relatifs à l'orthogonalité non-hermitienne en cherchant, par
exemple, à renforcer le résultat présenté dans le théorème 13,
en prenant en compte cette fois-ci le module de l'intégrande, et non plus en ne
considérant que le point de vue ``angulaire'' qu'implique la relation.
Toujours au chapitre des généralisations à envisager, nous retiendrons
aussi la possibilité d'étendre les résultats à des contours analytique
ou analytiques par morceau généraux, à partir de la conjecture que
nous avons exposée à la fin de nos expérimentations numériques.
Parallèlement à ces axes de recherche, et pour nous ramener à la question
de la détection de fissure, il est une voie que nous avons pour l'instant peu
explorée, qui serait d'ajouter une contrainte sur nos approximants, afin de
définir un mode d'approximation dont les pôles s'accumuleraient sur
la fissure et non sur la géodésique. On peut penser par exemple à une
approximation sous contrainte d'avoir des résidus réels.
Nous espérons que ces nouvelles questions et ces voies possibles de recherche mèneront dans un avenir proche à une théorie plus générale sur le sujet, en relachant peu à peu nos hypothèses et prérequis sur la régularité des fissures et nous approchant ainsi, d'une méthode la plus explicite possible d'utiliser l'approximation rationnelle dans le domaine des problèmes inverses.