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Sous-sections

Produits Tensoriels

Définition

Le produit tensoriel d'un tenseur P de $\otimes ^{p}E$ et d'un tenseur Q de $\otimes ^{q}E$ est un tenseur de $\otimes ^{p+q}E$ défini de la manière suivante (ici p=2, q=3) :

$\begin{displaymath}(P\otimes Q)(u,v,x,y,z)=P(u,v)Q(x,y,z)\qquad \forall u,v,x,y,z\in E\end{displaymath}$

Le produit tensoriel d'un tenseur par un scalaire (tenseur d'ordre 0) correspond au produit externe.

Le produit tensoriel contracté d'un tenseur P de $\otimes ^{p}E$ et d'un tenseur Q de $\otimes ^{q}E$ ( $p,q\geq 1$ ) est un tenseur de $\otimes ^{p+q-2}E$ défini de la manière suivante (ici p=2, q=3) : $(P\overline{\otimes }Q)^{ijm}=P^{ij}_{\: k}Q^{km}=P^{ijk}Q_{k}^{\, m}$ . On vérifie que cette définition est correcte car le tenseur défini ne dépend pas du choix de la base et des emplacements des indices.

On peut définir de même un produit doublement contracté de deux tenseurs d'ordre supérieur ou égal à 2 de la façon suivante : $(P\overline{\overline{\otimes }}Q)^{i}=P^{i}_{\, jk}Q^{jk}=P^{ijk}Q_{jk}=P_{\: k}^{ij}Q^{\, k}_{j}=P_{\, j}^{i\, k}Q^{j}_{\, k}$ .

Propriétés

Une manière plus simple d'aborder les produits tensoriels et d'utiliser leurs propriétés.

On constate que le produit tensoriel est bilinéaire, associatif, mais non commutatif :

$\begin{displaymath}P\otimes (T\otimes Q)=(P\otimes T)\otimes Q=P\otimes T\otimes Q\end{displaymath}$

De plus, on a en particulier (ici, on utilise à nouveau des coordonnées 1-contravariante 23-covariante, mais le résultat se généralise de façon évidente à n'importe quel type de coordonnées) : $(e_{i}\otimes e^{j}\otimes e^{k})(x,y,z)=(e_{i}.x)(e^{j}.y)(e^{k}.z)=x_{i}y^{j}z^{k}$ .

$\{(e_{i}\otimes e^{j}\otimes e^{k})\}$ forme donc une base de l'espace vectoriel des tenseurs sur E d'ordre 3, et :

$\begin{displaymath}T=T^{i}_{\, jk}(e_{i}\otimes e^{j}\otimes e^{k})\end{displaymath}$

Le produit contracté est lui aussi bilinéaire. Il n'est en général pas commutatif. Cependant, le produit contracté de 2 tenseurs d'ordre 1 (vecteurs) n'est autre que le produit scalaire, et est donc commutatif :

$\begin{displaymath}x\overline{\otimes }y=y\overline{\otimes }x=x_{i}y^{i}=x^{i}y_{i}=(x.y)\end{displaymath}$

et en particulier

$\begin{displaymath}e_{i}\overline{\otimes }e^{j}=\delta ^{j}_{i}\end{displaymath}$

Le produit contracté est associatif lorsque le tenseur central est d'ordre supérieur ou égal à 2 :

$\begin{displaymath}P\overline{\otimes }(T\overline{\otimes }Q)=(P\overline{\otim... ...erline{\otimes }T\overline{\otimes }Q\quad si\, ordre\, T\geq 2\end{displaymath}$

Enfin, les produits tensoriels et contractés sont associatifs entre eux :

$\begin{displaymath}P\otimes (T\overline{\otimes }Q)=(P\otimes T)\overline{\otimes }Q=P\otimes T\overline{\otimes }Q\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}P\overline{\otimes }(T\otimes Q)=(P\overline{\otimes }T)\otimes Q=P\overline{\otimes }T\otimes Q\end{displaymath}$

On peut ainsi retrouver la définition du produit tensoriel contracté de la manière suivante : $(P\overline{\otimes }Q)=(P^{ijk}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k}))\overline{\otimes }(Q_{l}^{\, m}(e^{l}\otimes e_{m}))$ . Par bilinéarité, il vient $(P\overline{\otimes }Q)=P^{ijk}Q_{l}^{\, m}((e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})\overline{\otimes }(e^{l}\otimes e_{m}))$ , mais par associativité, $(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})\overline{\otimes }(e^{l}\otimes e_{m})=e_{i... ...\otimes }e^{l})\otimes e_{m}=\delta ^{k}_{l}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{m})$ . Donc, finalement : $(P\overline{\otimes }Q)=P^{ijk}Q_{k}^{\, m}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{m})$ .

On peut aussi exprimer l'effet d'un tenseur P de $\otimes ^{p}E$ sur un n-uplet de E (ici p=3) :

$\begin{displaymath}P(x,y,z)=(((P\overline{\otimes }z)\overline{\otimes }y)\overline{\otimes }x)\end{displaymath}$

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Sebastien Granger
1999-11-23