Tenseurs Euclidiens

Définition

Soit E un espace vectoriel réel de dimension n, muni d'un produit scalaire.

Un tenseur d'ordre p est une forme p-linéaire de dans .

L'ensemble des tenseurs d'ordre p sur E, forme un espace vectoriel noté et de dimension n^p.

Par convention, un tenseur d'ordre 0 est un scalaire, i.e. un réel qui ne dépend pas de la base. Pour cette raison, xⁱ ou toute autre coordonnée n'est pas un scalaire, et ne peut-être considéré comme un tenseur.

Dans le cas où p=1, il s'agit d'une forme linéaire de E. Or nous avons déja identifié ces formes au vecteurs de E. est donc identifié à E.

Coordonnées

Pour éviter des notations trop lourdes, nous travaillerons sur un tenseur d'ordre 3, mais les notions introduites ici sont générales.

Soit .

Si on utilise par exemple les coordonnées covariantes de a et les coordonnées contravariantes de b et c, on a :

T(x,y,z)=T(x_ieⁱ,y^je_j,z^ke_k)=x_iy^jz^kT(eⁱ,e_j,e_k)

On définit les coordonnées 1-contravariantes 23-covariantes de T (nous montrerons au paragraphe 3.2 qu'il s'agit véritablement des coordonnées du tenseur dans une certaine base définie à partie des bases normales et duales de E).

$$T_{\, jk}^{i}=T(e^{i},e_{j},e_{k})$$

On obtient les formules de changement de base de la façon suivante : .

Ceci justifie la généralisation des termes covariants et contravariants.