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Sous-sections

Tenseurs d'ordre 2

Caractéristiques générales

Les tenseurs d'ordre 2 seront ici les plus intéressants. Un tenseur d'ordre 2 est une forme bilinéaire sur un espace vectoriel.

Soit T un tenseur d'ordre 2. l'expression de T(x,y) se simplifie car $(T\overline{\otimes }y)$ est d'ordre 1 et donc $(T\overline{\otimes }y)\overline{\otimes }x=x\overline{\otimes }(T\overline{\otimes }y)$ et finalement :

$\begin{displaymath}T(x,y)=x^{i}T_{ij}y^{j}=x\overline{\otimes }T\overline{\otimes }y\end{displaymath}$

On associe à un couple de vecteur (x,y) le tenseur $x\otimes y$ . L'ensemble de ces tenseurs forme un sous-ensemble de l'espace des tenseurs d'ordre 2 (qui n'est pas un sous-espace vectoriel), et ils sont appelés diades.

Cette notation permet d'effectuer facilement les calculs. On a par exemple : $(x\otimes y)(a,b)=a\overline{\otimes }(x\otimes y)\overline{\otimes }b=(a\overline{\otimes }x)\otimes (y\overline{\otimes }b)=(a.x)\otimes (b.y)=(a.x)(b.y)$ .

On associe à T l'endomorphisme de E, noté $\widetilde{T}$ ou ^lT qui vérifie :

$\begin{displaymath}\widetilde{T}(x)=T\overline{\otimes }x=(T^{i}_{\, j}x^{j})e_{i}\qquad \forall x\in E\end{displaymath}$

On peut se rappeler que si $y=\widetilde{T}(x)$ , on a $y^{i}=T^{i}_{\, j}x^{j}$ , et de même pour toutes les autres conformations d'indices.

Réciproquement, tout endomorphisme $\widetilde{T}$ est associé au tenseur défini par : $T(x,y)=x\overline{\otimes }\widetilde{T}(y)\qquad \forall x,y\in E$ .

On constate enfin que le tenseur associé à $\widetilde{P}\circ \widetilde{Q}$ est $P\overline{\otimes }Q$ .

Les tenseurs d'ordre 2 permettent ainsi d'identifier formes bilinéaires et endomorphismes.

Matrices d'un tenseur

En regroupant les coordonnées d'un tenseur, en faisant correspondre le premier indice à un indice de ligne et le second à un indice de colonne, on peut définir 4 matrices différentes suivant le type de coordonnées qu'on utilise. Voici la notation dans le cas des coordonnées purement covariantes :

$\begin{displaymath}\left[ T^{}_{\bullet \bullet }\right] =\left[ \begin{array}{c... ...\ & & & \\ T_{n1}^{} & T_{n2} & & T_{nn} \end{array}\right] \end{displaymath}$

On constate alors que si $y=\widetilde{T}(x)=T\overline{\otimes }x$ , alors $\left[ y^{\bullet }_{}\right] =\left[ T^{\bullet }_{\; \bullet }\right] \left... ...ht] =\left[ T^{\bullet \bullet }_{}\right] \left[ x^{}_{\bullet }\right] ^{t}$ et $\left[ y^{}_{\bullet }\right] ^{t}=\left[ T^{}_{\bullet \bullet }\right] \lef... ... =\left[ T^{\; \bullet }_{\bullet }\right] \left[ x^{}_{\bullet }\right] ^{t}$ .

Transposée - Tenseur Symétrique

On associe à tout tenseur T d'ordre 2 son transposé noté T^tet défini par :

$\begin{displaymath}T^{t}(x,y)=T(y,x)\qquad \forall x,y\in E\end{displaymath}$

Les coordonnées d'un tenseur et de son transposé sont reliées par les relations :

$\begin{displaymath}(T^{t})_{i}^{\, j}=T^{j}_{\, i}\quad (T^{t})_{\, j}^{i}=T^{\, i}_{j}\quad (T^{t})^{ij}=T^{ji}\quad (T^{t})_{ij}=T_{ji}\end{displaymath}$

Les matrices d'un tenseur et de son transposé son donc reliées par les relations suivantes :

$\begin{displaymath}\left[ (T^{t})^{}_{\bullet \bullet }\right] =\left[ T^{}_{\bu... ...\bullet }\right] =\left[ T^{\bullet }_{\: \bullet }\right] ^{t}\end{displaymath}$

Un tenseur est dit symétrique s'il est son propre transposé. On déduit alors facilement ses propriétés de ce qui précède, et on remarque en particulier que si T est symétrique, alors $\left[ T^{\bullet \bullet }_{}\right]$ et $\left[ T^{}_{\bullet \bullet }\right]$ sont symétriques, mais $\left[ T^{\bullet }_{\: \bullet }\right]$ et $\left[ T^{\: \bullet }_{\bullet }\right]$ ne le sont pas nécessairement.

Tenseur métrique

Le tenseur métrique, noté G, est défini par :

$\begin{displaymath}G(x,y)=(x.y)\qquad \forall x,y\in E\end{displaymath}$

Il s'agit donc d'un tenseur symétrique, Ses coordonnées sont :

$\begin{displaymath}g^{ij}=(e^{i}.e^{j})\quad g_{ij}=(e_{i}.e_{j})\quad \quad g^{i}_{\, j}=\delta ^{i}_{j}\quad g_{i}^{\, j}=\delta ^{i}_{j}\end{displaymath}$

Ses matrices ont des caractéristiques particulières :

$\begin{displaymath}\left[ g^{\: \bullet }_{\bullet }\right] =\left[ g^{\bullet }_{\: \bullet }\right] =Id\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left[ g^{}_{\bullet \bullet }\right] =\left[ g^{\bullet \bullet }_{}\right] ^{-1}\end{displaymath}$

On note $g=det\left[ g^{}_{\bullet \bullet }\right]$ .

L'endomorphisme associé à G est l'identité :

$\begin{displaymath}\widetilde{G}=Id\end{displaymath}$

Le tenseur métrique vérifie donc :

$\begin{displaymath}G\overline{\otimes }x=x\overline{\otimes }G=x\qquad \forall x\in E\end{displaymath}$

Le principal intérêt du tenseur métrique est de permettre la conversion entre coordonnées covariantes et contravariantes. On l'appelle ainsi souvent ascenseur d'indice. On a pour les vecteurs : $x=G\overline{\otimes }x$ , donc :

$\begin{displaymath}x^{i}=g^{ij}x_{j}\qquad x_{i}=g_{ij}x^{j}\end{displaymath}$

Voici un exemple pour les tenseurs d'ordre supérieur : $T(x,y,z)=T^{ijk}x_{i}y_{j}z_{k}=T_{i}^{\, jk}x^{i}y_{j}z_{k}=T_{i}^{\, jk}g^{il}x_{l}y_{j}z_{k}$ , donc $T^{ijk}=g^{il}T_{l}^{\, jk}$ .

Pour les tenseurs d'ordre 2, on a, en terme de matrices :

$\begin{displaymath}\left[ T^{\bullet }_{\; \bullet }\right] =\left[ g^{\bullet \... ...llet \bullet }_{}\right] \left[ T^{}_{\bullet \bullet }\right] \end{displaymath}$

Trace et déterminant - invariants

Les tenseurs d'ordre 2 sur E pouvant être identifiés aux endomorphismes de E, on peut définir leur trace et leur déterminant :

$\begin{displaymath}Tr(T)=Tr(\widetilde{T})=Tr(\left[ T^{\bullet }_{\; \bullet }\right] )=Tr(\left[ T^{\; \bullet }_{\bullet }\right] )\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}Det(T)=Det(\widetilde{T})=Det(\left[ T^{\bullet }_{\; \bullet }\right] )=Det(\left[ T^{\; \bullet }_{\bullet }\right] )\end{displaymath}$

On remarque en outre que la trace est invariant (par changement de base), appelé premier invariant, qui peut se réécrire :

$\begin{displaymath}\Theta _{1}=Tr(T)=T\overline{\overline{\otimes }}G=g^{ij}T_{ij}=g_{ij}T^{ij}=T^{i}_{\, i}=T^{\, i}_{i}\end{displaymath}$

On peut définir un second invariant par la formule suivante :

$\begin{displaymath}\Theta _{2}=(T^{1}_{\, 1}T^{2}_{\, 2}-T^{2}_{\, 1}T^{1}_{\, 2... ...{1}_{\, 3})+(T^{2}_{\, 2}T^{3}_{\, 3}-T^{3}_{\, 2}T^{2}_{\, 3})\end{displaymath}$

Et le déterminant est un troisième invariant :

$\begin{displaymath}\Theta _{3}=det(T)\end{displaymath}$

Valeurs propres et vecteurs propres

Les valeurs propres et vecteurs propres d'un tenseur d'ordre 2 sont définis aussi comme les valeurs propres et vecteurs propres de l'endomorphisme associé. Ainsi, $\lambda$ est valeur propre de T si :

$\begin{displaymath}det(T-\lambda G)=0\end{displaymath}$

Les composantes contravariantes des vecteurs propres de T sont obtenues en cherchant les colonnes propres de $\left[ T^{\bullet }_{\; \bullet }\right]$ .

Les composantes covariantes des vecteurs propres de T sont obtenues en cherchant les colonnes propres de $\left[ T^{\; \bullet }_{\bullet }\right]$ .

Attention : les colonnes propres de $\left[ T^{\bullet \bullet }_{}\right]$ et $\left[ T^{}_{\bullet \bullet }\right]$ n'ont pas de signification particulière.

On a enfin les résultat suivant :

1.: un tenseur symétrique réel possède toujours n valeurs propres réelles (distinctes ou non).
2.: Les espaces propres sont orthogonaux entre eux.
3.: Dans une base construite sur les vecteurs propres, les matrices $\left[ T^{\bullet }_{\; \bullet }\right]$ et $\left[ T^{\; \bullet }_{\bullet }\right]$ sont diagonales, et les termes de la diagonale sont les valeurs propres.
4.: Dans le cas d'un tenseur symétrique, on peut toujours construire une base orthogonale sur les espaces propres.

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Sebastien Granger
1999-11-23