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Espace vectoriel et espace dual - coordonnées

Notations

La théorie des tenseurs est associée à un certains nombres de règles de notations, qui permettent en pratique de ne pas se tromper dans l'écriture des coordonnées, des changements de base et des matrices. Ces règles sont, dans certains cas de véritables conventions (les indices des vecteurs de la base en bas, par exemple), mais correspondent dans d'autre cas à des résultats de théorèmes (on vérifie par exemple qu'un changement de base pour les indices contravariants d'un tenseur suit bien la même loi que pour les coordonnées contravariantes d'un vecteur). Le but de ce résumé n'étant pas d'exposer les tenseurs de façon rigoureuse, mais de façon claire et pratique, ces résultats seront pour la plupart passés sous silence.

Lorsque l'on dispose d'une série d'éléments (vecteurs d'une base, coordonnées d'un vecteur), on peut noter ces éléments de façon indicée. On placera dans certains cas l'indice en haut, dans d'autre cas en bas. Par exemple : e_i, xⁱ.

La première règle utilisée dans le calcul tensoriel est la convention d'Einstein : dans une sommation, on omet le signe de sommation $\Sigma ^{n}_{i=1}$ . Ainsi $\Sigma ^{n}_{i=1}(x^{i}e_{i})$ sera simplement noté xⁱe_i, et appelé monôme. L'indice correspondant à la sommation est appelé indice muet, car on peut changer son nom sans conséquence pour l'extérieur du monôme qui le contient. Ainsi les égalités x=xⁱe_i et x=x^ke_k sont formellement identiques. Un monôme peut contenir plusieurs sommations simultanées : $A^{k}_{\, i}x^{i}e_{k}$ .

Les règles les plus importantes sont les règles sur le placement des indices : un indice muet doit se apparaître exactement deux fois dans un monôme, une fois placé en haut, l'autre fois placé en bas (voir exemples précédents). Ainsi, si l'on trouve un résultat de la forme x=x_ie_i (indices placés à la même hauteur) ou x=x_iy_ieⁱ (l'indice apparaît plus de deux fois), celui-ci correspond certainement à une erreur de notation, de raisonnement ou de calcul.

De même, un indice non muet (indice réel) ne doit apparaître qu'une seule fois dans un monôme, et, dans une sommation ou une égalité de monômes, les indices réels doivent être les mêmes (même nom, même hauteur) dans chaque terme. Sauf cas particuliers, on omettra dans une égalité le signe $\forall i\in \{1,...,n\}$ , où i est un indice réel. Ainsi, $x_{i}=A^{\, k}_{i}x_{k}$ est correct (et est valable pour tout i), x_i=A^ikx_k correspond certainement à une erreur.

On rappelle enfin la définition de l'indice de Kronecker :

$\begin{displaymath}\delta _{i}^{k}=\left\{ \begin{array}{c} 1\: si\: i=k\\ 0\: si\: i\neq k \end{array}\right. \end{displaymath}$

Base d'un espace vectoriel - coordonnées contravariantes d'un vecteur

Les tenseurs sont définis dans le cadre d'espace vectoriels réels. Nous supposerons très vite ces espaces Euclidiens (munis d'un produit scalaire). Nous allons rappeler quelques résultats de bases sur les espaces vectoriels, ce qui permettra en outre de se familiariser avec les notations et le vocabulaire de la théorie des tenseurs.

Soit donc un espace vectoriel réel E de dimension n, et une base $\{e_{i}\}=\{e_{i}\}_{1\leq i\leq n}$ de cet espace.

Soit $v\in E$ . v est donc un vecteur de E et s'écrit comme combinaison linéaire de la base $\{e_{i}\}$ , ses coordonnées contravariantes sont définis comme suit :

v=vⁱe_i

On peut ranger ces coordonnées dans un vecteur colonne :

$\begin{displaymath}\left[ v_{}^{\bullet }\right] =\left[ \begin{array}{c} v^{1}\\ v^{2}\\ ...\\ v^{n} \end{array}\right] \end{displaymath}$

Soit maintenant $\{e'_{_{i}}\}$ une nouvelle base de E. La nouvelle base se définit sur l'ancienne par des relations de la forme :

$\begin{displaymath}e'_{_{k}}=e_{i}A_{\, k}^{i}\end{displaymath}$

En considérant le premier indice comme celui de ligne, l'autre indice comme celui des colonnes, on peut ranger les $A_{\, k}^{i}$ dans une matrice :

$\begin{displaymath}\left[ A^{\bullet }_{\, \bullet }\right] =\left[ \begin{array... ..._{\, 1}^{n} & A_{\, 2}^{n} & & A_{\, n}^{n} \end{array}\right] \end{displaymath}$

Attention : On verra par la suite les matrices associés à un tenseur d'ordre 2. La matrice définie ici ne correspond pas à un tenseur. Il n'existe donc pas de matrice associée de la forme $\left[ A^{}_{\bullet \bullet }\right]$ , $\left[ A^{\bullet \bullet }_{}\right]$ ou $\left[ A^{\, \bullet }_{\bullet }\right]$ .

On reconnaît alors dans la colonne k les coordonnées contravariantes de e'_{_k} dans la base $\{e_{i}\}$ . On appelle cette matrice matrice de passage de $\{e_{i}\}$ vers $\{e'_{_{j}}\}$ et on la note :

$\begin{displaymath}\left[ \begin{array}{c} \{e_{i}\}\\ \{e'_{_{i}}\} \end{array... ...y}{c} \{e_{i}\}\\ \{e'_{_{i}}\} \end{array}\right] ^{i}_{\, k}\end{displaymath}$

On constate aisément que la matrice de passage de $\{e'_{_{j}}\}$ vers $\{e_{i}\}$ , notée $\left[ \begin{array}{c} \{e'_{_{i}}\}\\ \{e_{i}\} \end{array}\right]$ est son inverse.

En écrivant $v=v^{i}e_{i}=v^{i}e'_{_{k}}(A^{-1})_{\, i}^{k}=v'^{k}e'_{_{k}}$ , on trouve les formules de changement de base, soit sous forme matricielle, soit sous forme indicée :

$\begin{displaymath}v'^{k}=\left[ \begin{array}{c} \{e'_{_{i}}\}\\ \{e_{i}\} \en... ...}\}\\ \{e_{i}\} \end{array}\right] \left[ v^{\bullet }\right] \end{displaymath}$

Base duale - coordonnées covariantes

Nous examinons maintenant les formes linéaires sur l'espace E. Il s'agit des applications linéaires de E dans $\mathbbm {R}$ , qui forment l'espace E^*, appelé espace dual, qui est aussi de dimension n.

Une telle application peut être caractérisée par son action sur une base $\{e_{j}\}$ de E (elle est linéaire). On peut ainsi associer à $\{e_{j}\}$ base de E, la base duale $\{e^{*i}\}$ de E^* définie par l'action de chaque forme linéaire e^*i sur la base $\{e_{j}\}$ : $e^{*i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}$ .

Nous allons maintenant nous restreindre au cas euclidien, qui permet d'identifier facilement forme linéaire et vecteur (bien que certains des résultats qui suivent restent valables dans le cas général, mais au prix d'un écriture plus lourde). En effet, étant donné un produit scalaire $(\: .\: )$ , on a le résultat suivant : pour toute forme linéaire $v^{*}\in E^{*}$ : $x\in E\mapsto$ $v(x)\in \mathbbm {R}$ , il existe un unique $v\in E$ , tel que $\forall x\in E$ , v^*(x)=(v.x)=(x.v). On peut ainsi identifier v^* et v, et donc E et E^*. Dans la suite, on se place toujours dans le cas Euclidien, et on omet la distinction entre v^* et v.

Donnons nous ainsi une base $\{e_{j}\}$ de E. On lui associe la base duale $\{e^{*i}\}$ de E^* identifiée à $\{e^{i}\}$ base de E. On a donc e^*i(e_j)=(eⁱ.e_j), et la définition de la base duale devient :

$\begin{displaymath}(e^{i}.e_{j})=\delta _{j}^{i}\qquad \forall i,j\end{displaymath}$

Ainsi la base duale peut se définir de façon plus géométrique par les propriétés suivantes : $e^{i}\bot e_{j\neq i}$ et (eⁱ.e_i)=1. On constate en particulier qu'une base orthonormée est sa propre base duale.

On définit alors les coordonnées covariantes de $v\in E$ comme les coordonnées dans cette base :

v=v_ieⁱ

On peut aussi ranger ces coordonnées dans un vecteur ligne :

$\begin{displaymath}\left[ v^{}_{\bullet }\right] =\left[ \begin{array}{cccc} v^{}_{1} & v_{2} & ... & v_{n} \end{array}\right] \end{displaymath}$

Certains auteurs notent ce vecteur en colonne. Nous présenterons donc toutes les formules avec $\left[ v^{}_{\bullet }\right]$ (vecteur ligne) et $\left[ v^{}_{\bullet }\right] ^{t}$ (vecteur colonne).

De plus, on remarque que $v.e_{k}=v_{i}e^{i}.e_{k}=v_{i}\delta _{k}^{i}=v_{k}$ et $(v.w)=(v_{i}e^{i}.w^{j}e_{j})=v_{i}w^{j}(e^{i}.e_{j})=v_{i}w^{j}\delta ^{i}_{j}=v_{i}w^{i}$ . Donc :

v_i=v.e_i

vⁱ=v.eⁱ

v_iwⁱ=vⁱw_i=(v.w)

Les formules de changement de base sont obtenues en écrivant $v'_{_{k}}=v.e'_{_{k}}=v.(e_{i}A_{\, k}^{i})=(v.e_{i})A_{\, k}^{i}=v_{i}A_{\, k}^{i}$ :

$\begin{displaymath}v'_{_{k}}=v_{i}\, \left[ \begin{array}{c} \{e_{i}\}\\ \{e'_{... ...i}}\} \end{array}\right] ^{t}\left[ v^{}_{\bullet }\right] ^{t}\end{displaymath}$

On constate qu'en fait $v'_{_{k}}=v_{i}\, A_{\, k}^{i}$ est formellement la même formule que $e'_{_{k}}=e_{i}A_{\, i}^{i}$ , ce qui justifie le terme de coordonnées covariantes (qui varient comme la base). On comprend de même le sens de contravariant, et on constate que l'on a bien :

$\begin{displaymath}e'^{k}=(A^{-1})^{k}_{\, i}e^{i}\end{displaymath}$

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Sebastien Granger
1999-11-23