Méthodes effectives en géométrie algébrique réelle.

B. Mourrain

La résolution d'équations polynomiales apparait dans de nombreux domaines comme le traitement du signal, la robotique, la modélisation géométrique …

Ce cours est une introduction aux outils algébriques et algorithmiques permettant de résoudre ou d'analyser des problèmes géométriques rencontrés dans ces domaines.

Nous nous intéresserons, en particulier, au calcul de forme normale dans une algèbre quotient, de bases de Grobner ou de bord, aux algèbres artiniennes, à la dualité.

Cette étude algébrique fournira les ingrédients des algorithmes de résolution d'équations polynomiales. Des applications à la représentation parcimonieuse de signaux à partir de moments, à la décomposition de tenseurs, à l'optimisation polynomiale illustreront l'utilisation ces outils algébriques en pratique.

Références

• D. Cox, J. Little & D. O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer-Verlag, 1992.

• D. Cox, J. Little & D. O'Shea, Using algebraic geometry, Springer-Verlag, 1998.

• M. Elkadi. & B. Mourrain, Introduction à la résolution des systèmes d'équations algébriques, Springer-Verlag, Mathématiques et Applications, 59, 2007.

• J.B. Lasserre, Moments, Positive Polynomials and Their Applications, Imperial College Press, 2009. ISBN 978-1-84816-445-1

Séances

1. Jeudi 10 Décembre 2015, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Equations, solutions réelles ou complexes, idéaux, variétés, algèbres quotient, décomposition en composantes irréductibles, primaires. Nullstellensatz.

   Support: [S1]

2. Jeudi 17 Décembre 2015, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Composantes irréductibles, primaires. Bases de Grobner.

3. Jeudi 7 Janvier 2016, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Bases de Grobner, bases de bords.

   Support: [S2]

4. Jeudi 14 Janvier 2016, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Bases de bord.

   Installation et utilisation de Macaulay2.

   Courbes et Surfaces paramétrées et implicites.

5. Jeudi 21 Janvier 2016, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Dualité et systèmes inverses.

   Support: [S3]

6. Jeudi 28 Janvier 2016, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Algèbre Artinienne.

   Exercice: La variété des algèbres quotients associées à 3 points.

7. Jeudi 4 Février 2016, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Résolution de systèmes polynomiaux, racines réelles.

   Support: [S4]

   Exercice: Localisation à partir d'images

8. Jeudi 18 Février 2016, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Algèbre Artinienne de Gorenstein.

9. Jeudi 25 Février 2016, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

   Dualité, polynome-exponentiel. Extension plate.

10. Jeudi 3 Mars 2016, 9h-12h, Salle 2 LJAD.

    Applications: décomposition de tenseur, optimisation polynomiale.