Elimination et projection

1.Paramétrisation et equation implicite d'une courbe

Voici un exemple d'utilisation de Macaulay 2. Les données peuvent être modifiées et les calculs relancés.

Soit la courbe du plan paramétrée par

Calculer une équation implicite de , c'est-à-dire un polynôme de plus petit degré tel que pour tout .

Macaulay 2, version 1.1

with packages: Classic, Core, Elimination, IntegralClosure, LLLBases, Parsing,

PrimaryDecomposition, SchurRings, TangentCone

i1 :

R = QQ[t,x,y, MonomialOrder=>Eliminate 1]

i2 :

I = ideal (x-t^5+t,y-t^4+2*t-1)

i3 :

gb I

i4 :

L = entries gens gb I

i5 :

L#0#0

i22 :

2.Une surface paramétrée

Soit la surface paramétrée par

Calculer une équation implicite de , c'est-à-dire un polynôme de plus petit degré tel que pour tout .

Même question pour la paramétrisation

Macaulay2, version 1.7

with packages: ConwayPolynomials, Elimination, IntegralClosure, LLLBases,

PrimaryDecomposition, ReesAlgebra, TangentCone

i1 :

R = QQ[u,v, x,y,z, MonomialOrder=>Eliminate 2 ]

i2 :

I = ideal ( (1+u^3+v^3)*x-(1-u^3-v^2), (1+u^3+v^3)*y-(2*u^3-v^2*u), (1+u^3+v^3)*z-2*v)

i4 :

L = entries gens gb I; L#0#0

i4 :

L#0#0

i6 :

I = ideal ( (1+u^3+v^3)*x-(1-u^2-v^2), (1+u^3+v^3)*y-(v^2*u+u+1), (1+u^3+v^3)*z-2*v)

i7 :

L = entries gens gb I; L#0#0

i9 :

J = saturate (I, ideal(1+u^3+v^3));

i10 :

L = entries gens gb J; L#0#0

i10 :

3.Exercices

En s'inspirant des calculs ci-dessus:

  1. Trouver les équations vérifiées par un point de la courbe paramétrée par

    (c'est-à-dire tel que )

  2. Même question pour la courbe paramétrée par

  3. Calculer un système générateur du module des syzygies de

  4. Vérifier que l'on obtient une matrice dont les mineurs sont les polynômes ci-dessus (à un scalaire près).

  5. Cette propriété reste-t-elle vraie pour

Répondre sous forme d'une session de calculs avec Macaulay2 (comme dans la section précédente).