Encadrement: Bernard Mourrain
Lieu: GALAAD, Sophia Antipolis.
Durée: 3-6 mois
Niveau: Master 1-2

L'algèbre linéaire est outil incontournable en calcul scientifique. Pourtant de nombreux problèmes ont par nature un caractère non-linéaire et conduisent à des questions algébriques. C'est le cas de l'étude des tenseurs qui apparaisent dans un grand nombre d'applications allant du traitement du signal à la biologie [3]. Une
question naturelle qui se pose dans ce contexte est comment généraliser la notion de rang de matrice à des tenseurs ou à des polynômes. Le rang correspond à une décomposition minimale en termes "indécomposables". Une telle décomposition peut être particulièrement intéressante dans certaines applications où ces termes fournissent des informations géométriques sur les données observées.

Cette notion de rang pour les tenseurs symétriques est reliée à un problème connu en Géométrie algébrique sous la nom de problème de Waring : comment décomposer de manière minimale un polyôme en une somme de puissances de formes linéaires. Des travaux théoriques importants ont permis de répondre à certaines conjectures [1], mais les questions algorithmiques sont loin d'être résolues. Une nouvelle approche pour calculer efficacement une décomposition minimale d'un tenseur a été proposée récemment dans [2] en généralisant à plusieurs variables la méthode J.J. Sylvester [4].

L'objectif de ce stage est de faire une synthèse des différentes formulations permettant d'aborder le problème de décomposition minimale de tenseurs. Puis nous étudierons une technique algorithmique permettant de calculer une telle décomposition. Cette méthode sera appliquée à l'analyse de nuage de points en dimension 3 et à la détection de directions caractéristiques. Une implémentation à l'aide d'outils classiques de l'algèbre linéaire permettrra d'illustrer cett e nouvelle approche et un rapport de synthèse concluera le travail du stage.

Références:

1. J. Alexander and A. Hirschowitz. La méthode d'Horace éclatée : application à l'interpolation en degré quatre. Inventh. math., 107 :585{602, 1992.
2. J. Brachat, P. Comon, B. Mourrain, and E. Tsigaridas. Symmetric tensor decomposition. Linear Algebra and Applications 433,11-12 (2010) p. 1851–1872.
3. P. Comon, G. Golub, L-H. Lim, and B. Mourrain. Symmetric tensors and symmetric tensor rank. SIAM Journal on Matrix Analysis Appl., 30(3) :1254-1279, 2008.
4. J. J. Sylvester. Sur une extension d'un théorème de Clebsch relatif aux courbes du quatrième degré. Comptes Rendus Math. Acad. Sci. Paris, 102 :1532-1534, 1886.