Théorie de l'élimination: formalisme, formulaire et applications

Responsables: Laurent Busé (France), Carlos D'Andrea (Espagne).

La théorie de l'élimination possède une longue histoire remontant à Bézout (1764); les géomètres algébristes du dix-neuvième siècle lui portait une affection toute particulière. Son principal objet est, comme son nom l'indique, d'éliminer des variables dans un système algébrique: soit E est un système algébrique donné par des équations dépendantes de deux paquets de variables x et y, on cherche à construire un nouveau système algébrique E', appelé système résultant de E, qui ne dépend que des variables y et tel que (x_0,y_0) est une solution de E si et seulement si y_0 est une solution de E'. D'un point de vue géométrique, E' est tout simplement la projection de E sur l'espace des variables y. Conséquence du succès croissant des techniques de calcul assisté par ordinateurs, cette construction algébrique a reçu ces vingt dernières années un intérêt grandissant accompagné de nombreuses contributions et extensions. Elle a aujourd'hui trouvé sa place au carrefour de la géométrie algébrique, de l'algèbre commutative et du calcul formel. La th{é}orie de l'élimination et en particulier les résultants, trouvent des applications dans plusieurs domaines de l'ingénierie, notamment la vision algorithmique, la conception géométrique assistée par ordinateur (CGAO), la robotique, etc.
Le but de ce programme est l'étude, aussi bien théorique qu'effective, des systèmes résultants ainsi que le développement de leur implantation comme outil en vision algorithmique et en CGAO.

------- English version

Elimination theory has a long history, going back to B´ezout (1764). Algebraic geometers of the XIX-th century have devoted particular attention to it. Its main goal is the “elimination” of variables of an algebraic system: let E be an algebraic system given by equations that depends on two sets of variables x and y, we would like to construct a new algebraic system E′ that we will call resultant system of E that does not depend of the variables y, and such that (x_0,y_0) is a solution of E if and only if y_0 is a solution of E′. From a geometric point of view, E′ is just the projection of E over the space of variables y. As a consequence of the increasing success of computational techniques designed for the use of computers, in the last twenty years this algebraic construction has received considerable attention, and got numerous contributions and extensions. Elimination theory has found its place in the domains of Commutative Algebra, Algebraic Geometry and Formal Calculus. Jointly with resultant systems, it has several applications in different areas of engineering, like algorithmic vision, Computer Aided Geometric Design (CAGD), robotics, etc.
The aim of this research program is the theoretical and effective study , of resultant systems together with teh development as a tool for computer aided geometric design and algorithmic vision.