Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Equations, Idéaux, Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8
1.3. Correspondance entre l’algèbre et la géométrie . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Quelques invariants numériques d’une variété algébrique . . . . 19
1.6. Un peu de géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Calcul dans une algèbre quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Réduction des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Ordres monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. Idéaux monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Algorithme de construction d’une base de Groebner . . . . . . . . . . 38
2.6. Quelques applications des bases de Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7. Bases de Groebner des sous-modules de K[x]m . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Dimension et degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1. Dimension d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Degré d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. L’exemple d’une intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4. Algèbres de dimension 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1. Cas d’une seule variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2. Idéaux 0-dimensionnels de K[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Dual de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4. Décomposition de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5. Idempotents de l’algèbre A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6. Description des sous-algèbres Ai de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7. Opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.8. Décomposition des opérateurs de multiplication de A . . . . . . . . 90
4.9. Forme de Chow de l’idéal I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10. Représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.11. Nombre de racines réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5. Théorie des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1. Cas d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2. Cas multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3. Résultant sur Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4. Résultant torique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5. Résultant et bézoutien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6. Application des résultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1. Intersection de deux courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2. Résolution de systèmes surdéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3. Résoudre en ajoutant une forme linéaire générique . . . . . . . . . . 156
6.4. Calcul d’une représentation univariée rationnelle . . . . . . . . . . . . 158
6.5. Résoudre en « cachant » une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.6. Problème d’implicitisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7. Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.1. Dualité et systèmes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2. Système inverse d’un point isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3. Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.1. Algèbres de Gorenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2. Passage du local au global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3. Suites régulières et suites quasi-régulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4. Théorème de Wiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5. Intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.6. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9. Résidu algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.1. Définition du résidu et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.2. Lois de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.3. D’autres exemples de résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.4. Résidu et résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.5. Résidu local et socle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.6. Quelques applications du résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10. Calcul du résidu et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.1. Applications dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.2. Applications commodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10.3. Structure de la matrice bézoutienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.4. Relations de dépendance algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.5. Algorithme de calcul des résidus multivariables . . . . . . . . . . . . . 269
10.6. Applications propres de Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.7. Exposant de Lojasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.8. Inversion d’une application polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.9. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Liste des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Liste des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
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