1 - Signed Distance Functions and Viscosity Solutions of Discontinuous Hamilton-Jacobi Equations.
J.F. Aujol et G. Aubert. Rapport de Recherche 4507, Inria, France, juillet 2002.
Mots-clés : Equation aux derivees partielles, Fonction distance signee, Equation de Hamilton-Jacobi, Squelette.
@TECHREPORT{4507,
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| author |
= |
{Aujol, J.F. and Aubert, G.}, |
| title |
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{Signed Distance Functions and Viscosity Solutions of Discontinuous Hamilton-Jacobi Equations}, |
| year |
= |
{2002}, |
| month |
= |
{juillet}, |
| institution |
= |
{Inria}, |
| type |
= |
{Research Report}, |
| number |
= |
{4507}, |
| address |
= |
{France}, |
| url |
= |
{https://hal.inria.fr/inria-00072081}, |
| pdf |
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{https://hal.inria.fr/file/index/docid/72081/filename/RR-4507.pdf}, |
| ps |
= |
{https://hal.inria.fr/docs/00/07/20/81/PS/RR-4507.ps}, |
| keyword |
= |
{Equation aux derivees partielles, Fonction distance signee, Equation de Hamilton-Jacobi, Squelette} |
| } |
Résumé :
Dans ce travail, nous commençons par revoir quelques propriétés de la fonction distance signée. En particulier, nous examinons le squelette d'une courbe de ^2, et nous obtenons une description complète de sa fermeture. Nous donnons aussi une condition suffisante pour que l'adhérence du squelette soit de mesure de Lebesgue nulle. Nous menons alors une étude complète de l'EDP: du/dt +sign(u_0(x))(|Du|-1)=0 , cette dernière étant reliée étroitement à la fonction distance signée. Les articles spécialisés ne fournissent pas de résultats mathématiques pour ce genre d'EDP. En effet, nous sommes confrontés à un Hamiltonien discontinu. Nous nous intéressons ensuite à une classe d'EDP plus générale: du/dt +sign(u_0(x))H(Du)=0 , où H est un opérateur convexe. En se plaçant dans le cadre d'hypothèses techniques raisonnables, nous obtenons le même genre de résultats que précédemment. A notre connaissance, il s'agit de résultats nouveaux pour des opérateurs hamiltoniens discontinus. |
Abstract :
In this paper, we first review some properties of the signed distance function. In particular, we examine the skeleton of a curve in ^2 and get a complete description of its closure. We also give a sufficient condition for the closure of the skeleton to be of zero Lebesgue's measure. We then make a complete study of the PDE: du/dt +sign(u_0(x))(|Du|-1)=0 , which is closely related to the signed distance function. The existing literature provides no mathematical results for such PDEs. Indeed, we face the difficulty of considering a discontinuous Hamiltonian operator with respect to the space variable. We state an existence and uniqueness theorem, giving in particular an explicit Hopf-Lax formula for the solution as well as its asymptotic behaviour. This generalizes classical results for continous Hamitonian. We then get interested in a more general class of PDEs: du/dt +sign(u_0(x))H(D- u)=0, with H convex Under some technical but reasonable assumptions, we obtain the same kind of results. As far as we know, they are new for discontinuous Hamiltonians. |
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