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Publications sur Espace Variations Bornees
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Thèse de Doctorat et Habilitation |
1 - Contribution à l'Analyse de Textures en Traitement d'Images par Méthodes Variationnelles et Equations aux Dérivées Partielles.
J.F. Aujol. Thèse de Doctorat, Universite de Nice Sophia Antipolis, juin 2004.
Mots-clés : Decomposition d'images, Classification, Restauration, Analyse fonctionnelle, Espace Variations Bornees, Espaces de Sobolev.
@PHDTHESIS{JFAujol,
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| author |
= |
{Aujol, J.F.}, |
| title |
= |
{Contribution à l'Analyse de Textures en Traitement d'Images par Méthodes Variationnelles et Equations aux Dérivées Partielles}, |
| year |
= |
{2004}, |
| month |
= |
{juin}, |
| school |
= |
{Universite de Nice Sophia Antipolis}, |
| url |
= |
{https://hal.inria.fr/tel-00006303}, |
| pdf |
= |
{http://hal.inria.fr/docs/00/04/68/89/PDF/tel-00006303.pdf}, |
| keyword |
= |
{Decomposition d'images, Classification, Restauration, Analyse fonctionnelle, Espace Variations Bornees, Espaces de Sobolev} |
| } |
Résumé :
Cette thèse est un travail en mathématiques appliquées. Elle aborde quelques problèmes en analyse d'images et utilise des outils mathématiques spécifiques.
L'objectif des deux premières parties de cette thèse est de proposer un modèle pour décomposer une image f'en trois composantes : f=u+v+w. Notre approche repose sur l'utilisation d'espaces mathématiques adaptés à chaque composante: l'espace BV des fonctions à variations bornées pour u, un espace G'proche du dual de BV pour les textures, et un espace de Besov d'exposant négatif E'pour le bruit. Nous effectuons l'étude mathématique complète des différents modèles que nous proposons. Nous illustrons notre approche par de nombreux exemples.Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons spécifiquement à la composante texturée. Nous proposons un algorithme de classification supervisée pour les images texturées. |
Abstract :
This Ph.D. thesis is a work in applied mathematics. It deals with image processing problems, and uses specific mathematical tools.
The aim of the two first parts is to propose a model for decomposing an image f'into three components : f=u+v+w. Our approach relies on the use of mathematical spaces adapted to each component : the space BV of functions with bounded variations for u, a space G'close to the dual space of BV for v, and a negative Besov space E'for w. We carry out the complete mathematical analysis of the different models we propose. We illustrate our approach with many numerical examples. In the third and last part, we only deal with the texture component of an image. We propose a supervised classification algorithm for textured images. |
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5 Rapports de recherche et Rapports techniques |
1 - Dual Norms and Image Decomposition Models.
J.F. Aujol et A. Chambolle. Rapport de Recherche 5130, INRIA, France, mars 2004.
Mots-clés : Variation totale, Espace Variations Bornees, Decomposition d'images.
@TECHREPORT{5130,
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| author |
= |
{Aujol, J.F. and Chambolle, A.}, |
| title |
= |
{Dual Norms and Image Decomposition Models}, |
| year |
= |
{2004}, |
| month |
= |
{mars}, |
| institution |
= |
{INRIA}, |
| type |
= |
{Research Report}, |
| number |
= |
{5130}, |
| address |
= |
{France}, |
| url |
= |
{https://hal.inria.fr/inria-00071453}, |
| pdf |
= |
{https://hal.inria.fr/file/index/docid/71453/filename/RR-5130.pdf}, |
| ps |
= |
{https://hal.inria.fr/docs/00/07/14/53/PS/RR-5130.ps}, |
| keyword |
= |
{Variation totale, Espace Variations Bornees, Decomposition d'images} |
| } |
Résumé :
Inspiré par [16], de nombreux modèles de décomposition d'images en une composante géométrique et une composante texturée ont été proposés en traitement d'images. Dans de telles approches, les normes d'espaces de Sobolev d'exposant négatif ont paru intéressantes pour modéliser les éléments oscillants. Dans ce papier, nous comparons les propriétés de différentes normes qui sont duales de normes de Sobolev ou de Besov. Nous proposons ensuite un modèle de décomposition qui sépare une image en deux composantes, une première contenant les structures de l'image, une seconde les textures de l'image, et une troisième le bruit. Notre modèle de décomposition repose sur l'utilisation de trois semi-normes différentes: la variation totale pour la composante géométrique, une norme de Sobolev négative pour la texture, et une norme de Besov négative pour le bruit. Nous illustrons notre étude par des exemples numériques. |
Abstract :
Following [16], decomposition models into a geometrical component and a textured component have recently been proposed in image processing. In such approaches, negative Sobolev norms have seemed to be useful to modelize oscillating patterns. In this paper, we compare the properties of various norms that are dual of Sobolev or Besov norms. We then propose a decomposition model which splits an image into three components: a first one containing the structure of the image, a second one the texture of the image, and a third one the noise. Our decomposition model relies on the use of three different semi-norms: the total variation for the geometrical componant, a negative Sobolev norm for the texture, and a negative Besov norm for the noise. We illustrate our study with numerical examples. |
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2 - Structure and Texture Compression.
J.F. Aujol et B. Matei. Rapport de Recherche 5076, INRIA, France, janvier 2004.
Mots-clés : Espace Variations Bornees, Decomposition d'images, Texture, Structure.
@TECHREPORT{5076,
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| author |
= |
{Aujol, J.F. and Matei, B.}, |
| title |
= |
{Structure and Texture Compression}, |
| year |
= |
{2004}, |
| month |
= |
{janvier}, |
| institution |
= |
{INRIA}, |
| type |
= |
{Research Report}, |
| number |
= |
{5076}, |
| address |
= |
{France}, |
| url |
= |
{https://hal.inria.fr/inria-00071507}, |
| pdf |
= |
{https://hal.inria.fr/file/index/docid/71507/filename/RR-5076.pdf}, |
| ps |
= |
{https://hal.inria.fr/docs/00/07/15/07/PS/RR-5076.ps}, |
| keyword |
= |
{Espace Variations Bornees, Decomposition d'images, Texture, Structure} |
| } |
Résumé :
Dans ce papier, nous nous intéressons au problème de la compression d'image. Les ondelettes se sont révélées être un outil particulièremment efficace . Récemment, de nombreux algorithmes ont été proposés pour amméliorer la compression par ondelettes en essayant de prendre en compte les strucutres présentes dans l'image. De telles méthodes se révèlents très efficaces pour les images géométriques. Nous construisons un algorithme de compression d'images qui prend en compte la géométrie de l'image tout en étant capable d'être performant sur des images contenant à la fois des structures et des textures. Pour cela, nous utilisons un algorithme de décomposition d'image récemment introduit dans . Cet algorithme permet de séparer une image en deux composantes, une première composante contenant l'information géométrique de l'image, et une deuxième contenant les éléments oscillants de l'image. L'idée de notre méthode de compression est la suivante. Nous commen ons par décomposer l'image à compresser en sa partie géométrique et sa partie oscillante. Nous effectuons ensuite la compression de la partie géométrique à l'aide de l'algorithme introduit dans , ce dernier étant particulièrement bien adapté pour la compression des structures d'une image. Pour la partie oscillante de l'image, nous utilisons l'algorithme classique de compression par ondelettes biorthogonales. sur les zones régulières d'une image). l'image. Notre nouvel algorithme de compression s'avère plus performant que la méthode classique par ondelettes biorthogonales. meilleurs à la fois en PSNR, et aussi visuellement (les bords sont plus précis et les textures sont mieux conservées). |
Abstract :
In this paper, we tackle the problem of image compression. During the last past years, many algorithms have been proposed to take advantage of the geometry of the image. We intend here to propose a new compression algorithm which would take into account the structures in the image, and which would be powerful even when the original image has some textured areas. To this end, we first split our image into two components, a first one containing the structures of the image, and a second one the oscillating patterns. We then perform the compression of each component separately. Our final compressed image is the sum of these two compressed components. This new compression algorithm outperforms the standard biorthogonal wavelets compession. |
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3 - Modeling very Oscillating Signals : Application to Image Processing.
G. Aubert et J.F. Aujol. Rapport de Recherche 4878, INRIA, France, juillet 2003.
Mots-clés : Espace Variations Bornees, Espaces de Sobolev, Decomposition d'images, Optimisation, Equation aux derivees partielles.
@TECHREPORT{4878,
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| author |
= |
{Aubert, G. and Aujol, J.F.}, |
| title |
= |
{Modeling very Oscillating Signals : Application to Image Processing}, |
| year |
= |
{2003}, |
| month |
= |
{juillet}, |
| institution |
= |
{INRIA}, |
| type |
= |
{Research Report}, |
| number |
= |
{4878}, |
| address |
= |
{France}, |
| url |
= |
{https://hal.inria.fr/inria-00071705}, |
| pdf |
= |
{https://hal.inria.fr/file/index/docid/71705/filename/RR-4878.pdf}, |
| ps |
= |
{https://hal.inria.fr/docs/00/07/17/05/PS/RR-4878.ps}, |
| keyword |
= |
{Espace Variations Bornees, Espaces de Sobolev, Decomposition d'images, Optimisation, Equation aux derivees partielles} |
| } |
Résumé :
Cet article complète le travail présenté dans cite{Aujol[3]} dans lequel nous avions développé l'analyse numérique d'un modéle variationnel, initialement introduit par L. Rudin, S. Osher and E. Fatemi cite{Rudin[1]}, et revisité depuis par Y. Meyer cite{Meyer[1]}, pour supprimer le bruit et isoler les textures dans une image. Dans un tel modèle, on décompose l'image f en deux composantes (u+v), u et v minimisant une énergie. La première composante u appartient à BV et contient l'information géométrique de l'image, alors que la seconde v appartient à un espace G qui contient les signaux à fortes oscillations, i.e. le bruit et les textures. Dans cite{Meyer[1]}, Y. Meyer effectue son étude dans ^2 entier, et son approche repose principalement sur des outils d'analyse harmonique. Nous nous pla ons dans le cas d'un ouvert borné de ^2, ce qui constitue le cadre adapté au traitement d'images, et notre approche repose sur des arguments d'analyse fonctionnelle. Nous définissons l'espace G dans ce cadre puis donnons quelques unes de ses propriétés. Nous étudions ensuite la fonctionnelle permettant de calculer les composantes u et v. |
Abstract :
This article is a companion paper of a previous work cite{Aujol[3]} where we have developed the numerical analysis of a variational model first introduced by L. Rudin, S. Osher and E. Fatemi cite{Rudin[1]} and revisited by Y. Meyer cite{Meyer[1]} for removing the noise and capturing textures in an image. The basic idea in this model is to decompose f into two components (u+v) and then to search for (u,v) as a minimizer of an energy functional. The first component u belongs to BV and contains geometrical informations while the second one v is sought in a space G which contains signals with large oscillations, i.e. noise and textures. In Y. Meyer carried out his study in the whole ^2 and his approach is rather built on harmonic analysis tools. We place ourselves in the case of a bounded set of ^2 which is the proper setting for image processing and our approach is based upon functional analysis arguments. We define in this context the space G, give some of its properties and then study in this continuous setting the energy functional which allows us to recover the components u and v. model signals with strong oscillations. For instance, in an image, this space models noises and textures. case of a bounded open set of ^2 which is the proper setting for image processing. We give a definition of G adapted to our case, and we show that it still has good properties to model signals with strong oscillations. In cite{Meyer[1]}, the author had also paved the way to a new model to decompose an image into two components: one in BV (the space of bounded variations) which contains the geometrical information, and one in G which consists in the noises ad the textures. An algorithm to perform this decomposition has been proposed in cite{Meyer[1]}. We show here its relevance in a continuous setting. |
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4 - Image Decomposition : Application to Textured Images and SAR Images.
J.F. Aujol et G. Aubert et L. Blanc-Féraud et A. Chambolle. Rapport de Recherche 4704, INRIA, France, janvier 2003.
Mots-clés : Variation totale, Espace Variations Bornees, Texture, Classification, Restauration, Radar a Ouverture Synthetique (SAR).
@TECHREPORT{4704,
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| author |
= |
{Aujol, J.F. and Aubert, G. and Blanc-Féraud, L. and Chambolle, A.}, |
| title |
= |
{Image Decomposition : Application to Textured Images and SAR Images}, |
| year |
= |
{2003}, |
| month |
= |
{janvier}, |
| institution |
= |
{INRIA}, |
| type |
= |
{Research Report}, |
| number |
= |
{4704}, |
| address |
= |
{France}, |
| url |
= |
{https://hal.inria.fr/inria-00071882}, |
| pdf |
= |
{https://hal.inria.fr/file/index/docid/71882/filename/RR-4704.pdf}, |
| ps |
= |
{https://hal.inria.fr/docs/00/07/18/82/PS/RR-4704.ps}, |
| keyword |
= |
{Variation totale, Espace Variations Bornees, Texture, Classification, Restauration, Radar a Ouverture Synthetique (SAR)} |
| } |
Résumé :
Dans ce rapport, nous présentons un nouvel algorithme pour décomposer une imagef en u+v, u étant à variation bornée, et v contenant les textures et le bruit de l'image originale. Nous introduisons une fonctionnelle adaptée à ce problème. Le minimum de cette fonctionnelle correspond à la décomposition cherchée de l'image. Le calcul de ce minimum se fait par minimisation successive par rapport à chacune des variables, chaque minimisati- on étant réalisée à l'aide d'un algorithme de projection. Nous faisons l'étude théorique de notre modèle, et nous présentons des résultats numériques. D'une part, nous montrons comment la composante v peut être utilisée pour faire de la classification d'images texturées, et d'autre part nous montrons comment la composante u peut être utilisée en restauration d'images SAR. |
Abstract :
In this report, we present a new algorithm to split an image f into a component u belonging to BV and a component v made of textures and noise of the initial image. We introduce a functional adapted to this problem. The minimum of this functional corresponds to the image decomposition we want to get. We compute this minimum by minimizing successively our functional with respect to u and v. We carry out the mathematical study of our algorithm. We present some numerical results. On the one hand, we show how the v component can be used to classify textured images, and on the other hand, we show how the u component can be used in SAR image restoration. |
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5 - Mathematical Statement to one Dimensional Phase Unwrapping : a Variational Approach.
C. Lacombe et G. Aubert et L. Blanc-Féraud. Rapport de Recherche 4521, Inria, France, juillet 2002.
Mots-clés : Espaces de Sobolev, Espace Variations Bornees, Radar a Ouverture Synthetique (SAR), Interferometrie, Deroulement de phases.
@TECHREPORT{4521,
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| author |
= |
{Lacombe, C. and Aubert, G. and Blanc-Féraud, L.}, |
| title |
= |
{Mathematical Statement to one Dimensional Phase Unwrapping : a Variational Approach}, |
| year |
= |
{2002}, |
| month |
= |
{juillet}, |
| institution |
= |
{Inria}, |
| type |
= |
{Research Report}, |
| number |
= |
{4521}, |
| address |
= |
{France}, |
| url |
= |
{https://hal.inria.fr/inria-00072067}, |
| pdf |
= |
{https://hal.inria.fr/file/index/docid/72067/filename/RR-4521.pdf}, |
| ps |
= |
{https://hal.inria.fr/docs/00/07/20/67/PS/RR-4521.ps}, |
| keyword |
= |
{Espaces de Sobolev, Espace Variations Bornees, Radar a Ouverture Synthetique (SAR), Interferometrie, Deroulement de phases} |
| } |
Résumé :
Beaucoup d'alogorithmes de déroulement de phase ont été développés et formulés dans le domaine discret durant ces dix dernières années. Nous proposons ici, une formulation variationnelle pour résoudre le problème. Cette étude dans le domaine continu va nous permettre d'imposer quelques contraintes sur la régularité de la solution et de les implémenter efficacement. Cette méthode est présentée dans le cas unidimensionnel, et servira de base pour nos développement futurs pour le cas réel en 2D. |
Abstract :
Over the past ten years, many phase unwrapping algorithms have been developed and formulated in a discrete setting. Here we propose a variational formulatio- n to solve the problem. This continuous framework will allow us to impose some constraints on the smoothness of the solution and to implement them efficiently. This method is presented in the one dimensional case, and will serve as a basis for future developments in the real 2D case. |
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