26. La conception optimale d'un robot

Comment déterminer les dimensions d'un robot pour:

$\bullet$ que l'on puisse atteindre un espace de travail voulue
 

$\bullet$ qu'il puisse exercer une force minimale quelle que soit sa position, alors que les moteurs électriques ont un couple limité
 
 

$\bullet$ que la précision du robot soit au moins égale à une valeur donnée quelle que soit sa position alors que les capteurs fournissent une mesure inexacte
 

$\bullet$ que la vitesse minimale du robot ne soit pas inférieure à un certain seuil, alors que les moteurs ont une vitesse de rotation limitée

$\bullet$ ....
 
 

26.1 L'approche classique

On essaye de résoudre ce problème par l'approche fonction de coût
 
 
 

L'idée
 
 
 

$\bullet$ chaque critère ${\cal C}$ est quantifié par un nombre qui est 0 si le critère satisfait la contrainte du cahier des charges

$\bullet$ on construit une fonction de coût F qui est minimale si toutes les contraintes du cahier des charges sont vérifiées:

$$F=\sum w_i {\cal C}_i$$

$\bullet$ on utilise une procédure numérique d'optimisation qui va essayer de déterminer les dimensions du robot qui minimise F
 
 

mais cela a des inconvénients:

$\bullet$ les critères ont différentes unités $\Rightarrow$ les résultats sont très dépendants des poids w

$\bullet$ certains critères sont antagonistes $\Rightarrow$ les résultats sont très dépendants des poids w

$\bullet$ il faut savoir évaluer très rapidement les valeurs des critères

$\bullet$ la procédure est très longue si le nombre de paramètres à déterminer est important

$\bullet$ problème des minima locaux

26.2 Une autre approche

L'espace des paramètres: à chaque paramètre géométrique du robot on associe une dimension d'un espace qu'on appelle l'espace des paramètres
 
 
 

Un point de cet espace représente une géométrie unique du robot 

$\bullet$ on va chercher à déterminer pour chaque critère ${\calC}_i$ du cahier des charges quelle est la région${\calR}_i$ de l'espace de paramètres qui contient tous les robots satisfaisant le critère
 
 

$\bullet$ le robot "optimal" sera contenu dans l'intersection de toutes les régions ${\calR}_i$

un exemple: l'espace des paramètres est de dimension 2:
 
 
 

$\bullet$ le rayon R du plateau de base

$\bullet$ le rayon  r du plateau mobile

$\bullet$ les longueurs des jambes doivent être entre$\rho_{min},\rho_{max}$
 
 
 

Le problème est de déterminer quelles sont les valeurs possibles de r, R pour qu'en une position donnée P du plateau les longueurs des jambes soient bien dans [$\rho_{min},\rho_{max}$ ]
 
 
 

$\bullet$ tous les (r,R) tels qu'en P on ait $\rho \le\rho_{max}$ sont à l'intérieur d'une ellipse

$\bullet$ tous les (r,R) tels qu'en P on ait $\rho \ge\rho_{min}$ sont à l'extérieur d'une autre ellipse 

on peut généraliser le résultat au cas où l'on ne considère plus un seul point mais un segment de trajectoire ${\cal T}$
 
 
 

$\bullet$ tous les (r,R) tels que sur ${\cal T}$ on ait $\rho \le\rho_{max}$ sont à l'intérieur d'une union d'ellipse U1

$\bullet$ tous les (r,R) tels que sur ${\cal T}$ on ait $\rho \ge\rho_{min}$ sont à l'extérieur d'une autre union d'ellipse U2

$\bullet$ il suffit alors de soustraire U2 à U1 pour obtenir la région pour laquelle on a toujours $\rho$ dans [$\rho_{min},\rho_{max}$ ] 

On peut rajouter d'autres contraintes: par exemple que les articulations sur la base ne tournent pas plus qu'une certaine valeur 
ces opérations nécessitent de bons algorithmes géométriques, du calcul formel

1999-11-16