Seminars

Title: Courbes de Chebyshev et nœuds rationnels.

Abstract: On sait que tout nœud non compact peut-être obtenu comme plongement polynomial de
$\mathbf{R} \mapsto \mathbf{R}3$.
Nous nous intéressons ici à la paramétrisation des nœuds rationnels (ou à deux ponts)
par une courbe polynomiale de $(x(t),y(t),z(t))$ de degré minimal.
Après avoir rappelé quelques notions de base, nous montrons comment
nous obtenir effectivement tout nœud rationnel à $N$ croisements comme courbe de multi-degré
$(3,b,c)$ où $b+c=3N$. Nous obtenons en particulier des diagrammes qui sont des courbes de Chebyshev,
dont le nombre $(b-1)$ de points doubles est au maximum $3/2 N -1$. Un des ingrédients est l'écriture unique
de tout nombre rationnel comme fraction continue (unique) $[\pm 1, \pm 1, \ldots , \pm 1]$.

Travail en commun avec D. Pecker (UPMC).