Implémentation numérique de l'approximation AAK

Nous décrivons ici comment nous mettons en uvre le calcul du meilleur approximant AAK. Pour cela, nous supposons une connaissance du flux $\Phi$ et d'un échantillonnage des valeurs correspondantes de u sur des points du cercle unité $\mathbb{T}$. Compte-tenu, d'une part des limites de la précision numérique sur les mesures de u, et d'autre part de l'interpolation entre ses points de mesures, plusieurs questions se posent naturellement. La première est celle de la continuité de l'opérateur de Hankel H_f par rapport au symbole f. La seconde, qui en découle directement, est de savoir comment approximer la fonction $f\in L^2$, et par ce biais comment approximer son opérateur de Hankel.

Comme élément de réponse à la première question, un article de E. Hayashi, L. N. Trefethen et M. H. Gutknecht [33] prouve que l'opérateur de meilleure approximation de degré n qui, à f associe g_N pour la norme $L^\infty$, est continu sur l'algèbre de Wiener $\mathcal W$ en toute fonction f pour laquelle la (N+1)^evaleur singulière l'opérateur de Hankel est simple.
Mentionnons aussi l'article de V. V. Peller [41] selon lequel, toujours sous l'hypothèse que les valeurs singulières sont simples, le meilleur approximant AAK est continu pour les normes de Hölder et dans certains espaces de Besov. Si cette dernière hypothèse de non-multiplicité apparaît comme invérifiable a priori, elle reste toutefois ``génériquement'' vraie. On trouvera en effet dans [16] une preuve que l'ensemble des fonctions f dont la (N+1)^e valeur singulière est simple est un ensemble dense dans $L^\infty$. Ces résultats indiquent qu'il n'est pas suffisant en général d'approcher f en norme uniforme pour que les approximants de Hankel approchent ceux de f. En particulier, les techniques fondées sur les polynômes de Jackson ou de De la Vallée-Poussin (c.f J. R. Partington [40]) peuvent présenter des inconvénients dûs aux oscillations qu'ils engendrent.

En ce qui concerne le mode d'approximation, il nous faut examiner différents points. La fonction f n'étant connue que sur des échantillons au bord, il n'est pas envisageable de connaître ses coefficients de Fourier exactement, du moins pour sa partie réelle. Nous avons en effet le double avantage de pouvoir contrôler le flux $\Phi$ en entrée mais aussi par la même occasion, de le connaître parfaitement, de même que sa primitive sur le bord.

De fait, nos tentatives pour approcher l'opérateur de Hankel par ces techniques n'ont pas donné de résultats probants (mauvaise convergence). Un deuxième inconvénient de tels modes d'approximation est qu'ils nécessitent des points équirépartis sur le bord. Même si nous allons souvent disposer de telles données dans nos expérimentations, ceci peut paraître une limitation, qui nous obligerait selon les cas à interpoler la fonction pour en calculer les coefficients ou de passer par un changement de variable (via une application conforme du disque).

En définitive, on prendra le parti d'imposer sur le bord des flux très lisses, sous la forme de polynômes trigonométriques de faible degré, afin d'une part d'assurer une bonne convergence des séries de Fourier de la partie imaginaire, et d'obtenir d'autre part une température u assez régulière pour qu'une interpolation sur le bord (par des techniques classiques de ``splines'' [20]) soit raisonnablement proche de la véritable fonction.
Ainsi, l'opérateur de Hankel que l'on utilisera sera celui associé à la troncature d'une estimation de la série de Fourier. Selon l'ordre et le nombre de points, on calculera les coefficients par une simple évaluation par trapèzes des intégrales correspondantes ou, pour un nombre faible de points, en interpolant les valeurs de u entre les points de mesures par des splines, puis en utilisant l'expression exacte de la série de Fourier de la fonction définie par les splines par morceaux.

Nous verrons que cette approche donne des résultats satisfaisants dans ce cadre mais comme on peut s'y attendre, en cas de flux plus irréguliers (discontinus, par exemple), les résultats en souffrent.

Pour évaluer jusqu'à quel degré les pôles sont significatifs, l'approche $H^\infty _N$ dispose dès le départ d'un critère avantageux et peu coûteux : les valeurs singulières s_N. Pour les étudier, on pourra prendre en compte leur ordre de grandeur et le comparer à la norme $L^\infty$ de f afin de s'arréter lorsque la distance entre f et $H^\infty _N$ devient inférieure à la précision machine (10^-14 en double précision). On disposera toutefois d'un outil plus ``directement'' interprétable en observant la vitesse de décroissance de ces valeurs singulières sous la forme du rapport s_N/s_N+1. Il est en effet connu (c.f. O. G. Parfenov [38]) que la vitesse de décroissance de ces valeurs est au moins géométrique. De ce fait, lorsque la précision machine est atteinte, on observera un stationnement autour de valeurs proches de 1, ce qui donnera un degré limite au-delà duquel les approximants ne pourront être considérés comme représentatifs. De ce fait, comme on le voit, dés lors que la décomposition en valeurs singulières de notre opérateur de Hankel sera effectuée, on pourra évaluer directement les zéros portés par le vecteur singulier v_N (qui contiennent les pôles de l'approximant comme on l'a vu) correspondant au plus haut degré accessible.

L'ensemble des calculs et opérations décrites ici seront effectuées dans Matlab à partir des données obtenues dans notre programme de simulation du problème direct.