Résultats d'identifiabilité

Ce problème a été initialement introduit par A. Friedman et M. Vogelius. Dans un article [28] publié en 1989, ils prouvent un premier résultat d'identifiabilité dans le cas d'une fissure unique intérieure. Il y est établi que le choix de deux flux $\Phi$ particuliers sur le bord du domaine suffit pour déterminer de manière unique la présence d'une fissure C², et que ce nombre de flux est le nombre minimal.
Ce résultat a connu par la suite plusieurs généralisations pour le cas, non plus d'une seule fissure, mais de collections de fissures dans le domaine D. Dans l'article [24] de K. Bryan et M. Vogelius, on trouve une preuve de l'identifiabilité de n fissures par n+1 flux, résultat renforcé par G. Alessandrini et A. D. Valenzuela dans [6] ainsi que par H. Kim et J. K. Seo [36] qui démontrent des résultats d'identifiabilité avec seulement deux flux (résultat minimal). Les techniques de preuves employées dans ces travaux reposent sur une étude fine des courbes de niveau de la solution.
Ainsi, sous les hypothèses idoines de régularité, on voit que le choix a priori de deux flux particuliers permet d'obtenir l'unicité des mesures extérieures par rapport aux fissures dans de nombreux cas.

On notera par ailleurs les résultats d'identifiabilité obtenus pour un problème connexe au nôtre : dans le cas où l'on ne dispose de mesures que sur une partie du bord et que l'on cherche à identifier une fissure atteignant la frontière extérieure du domaine (on parle dans ce cas d'une fissure débouchante). S. Andrieux, A. Ben Abda et M. Jaoua démontrent dans [10] un résultat d'unicité à partir d'un unique flux particulier. Enfin, on trouvera un résultat traitant le cas de plusieurs fissures débouchantes dans les travaux de A. R. Elcrat, V. Isakov et O. Neculoiu [27].