Equipe Projet MAGIQUE 3D
INRIA Bordeaux / Université de Pau
Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications
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64013 PAU Cedex
FRANCE
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J'ai effectué ma thèse dans l'équipe projet APICS de l'INRIA Sophia Antipolis sous la direction de Juliette Leblond. J'ai travaillé en collaboration avec François Saint-Laurent (CEA/IRFM Cadarache) et Jean-Paul Marmorat (Mines de Paris).
Au cours de cette thèse, j'ai étudié la résolution d'un problème de Cauchy pour des équations elliptiques (avec coefficient de diffusion isotrope) posées sur des domaines planaires doublement connexes. La résolution théorique de ce problème est abordée grâce à l'utilisation d'un formalisme dérivant de l'analyse harmonique et complexe. Par ailleurs, les résultats théoriques obtenus ont permis de traiter le problème inverse consistant à retrouver la frontière d'un plasma à l'intérieur d'un tokamak (Tore Supra).
Sujet : Approximation dans des classes de fonctions analytiques généralisées et résolution de problèmes inverses pour les tokamaks.
Soutenance : 03 Novembre 2011
Résumé : Cette thèse traite de la résolution théorique et constructive de problèmes inverses pour des équations de diffusion isotropes dans des domaines plan simplement et doublement connexes. A partir de données de Cauchy (potentiel, flux) disponibles sur une partie de la frontière du domaine, il s’agit de retrouver ces quantités sur la partie du bord où l’on ne dispose pas d’information, ainsi qu’à l’intérieur du domaine. L’approche mise au point consiste a considérer les solutions de l’équation de diffusion comme les parties réelles des solutions complexes d’une équation de Beltrami conjuguée. Ces fonctions analytiques généralisées d’un type particulier permettent de définir des classes de Hardy, dans lesquelles le problème inverse est régularisé en étant reformulé comme un problème de meilleure approximation sous contrainte (ou encore problème extrémal borné, d’adéquation aux données). Le caractère bien posé de celui-ci est assuré par des résultats d’existence et de régularité auxquels s’ajoutent des propriétés de densité a la frontière. Une application au calcul de la frontière libre d’un plasma sous confinement magnétique dans le tokamak Tore Supra (CEA-IRFM Cadarache) est proposée. La résolution du problème extrémal a partir d’une base de fonctions adaptées (harmoniques toroïdales) fournit un critère permettant de qualifier les estimations de la frontière plasma. Un algorithme de descente permet de le faire décroître, en améliorant l’estimation de la frontière. Cette méthode, qui ne requiert pas d’intégration de l’équation dans le domaine, fournit de très bons résultats et semble appelée a connaître des extensions pour d’autres tokamaks tels que JET et ITER.
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