Menu:

Recherche

Je présente sur cette page les activités de recherche que j'ai menées et que je poursuis aujourd'hui. Mes thèmes de recherche sont les suivants :

Présentation générale

Au cours de ma thèse, j'ai étudié la résolution de problèmes inverses de type Cauchy, pour certaines équations aux dérivées partielles elliptiques de diffusion, dans des domaines Ω planaires doublement connexes réguliers tels que ∂Ω = I∪J avec I et J de mesures strictement positives. On cherche donc à répondre à la question : le système suivant

              

, où la conductivité σ∈W1,p(Ω;ℝ+) est bornée, admet-il une unique solution ? Par ailleurs, en dehors de la reconstruction des données de Dirichlet et Neumann sur la partie J où on ne dispose pas d'information, on s'intéresse aussi à la détermination de surfaces de niveau pour les solutions de ces équations de diffusion. Ces problèmes de complétion de données sont connus pour être mal posés au sens de Hadamard et nécessitent donc l'utilisation de techniques de régularisation. Le travail réalisé au cours de la thèse comporte alors trois volets. Un premier consistant à résoudre théoriquement le problème inverse de Cauchy pour des données au bord de faible régularité à partir de techniques issues de l'analyse complexe. Dans un deuxième temps, on développe une méthode constructive de résolution qui s'appuie sur la recherche de solutions explicites aux équations mises en jeu. Enfin, ces résultats trouvent une application intéressante en fusion nucléaire, à savoir l'identification de la frontière d'un plasma confiné magnétiquement à l'intérieur d'un tokamak.

Espace de Hardy généralisés

Afin de régulariser le problème inverse, on étend une technique utilisée pour des problèmes du même type concernant les fonctions harmoniques. Il s'agit de reformuler le problème de complétion de données comme un problème de meilleure approximation sous contrainte (problème extrémal borné) dans des espaces de fonctions analytiques généralisées. Cette technique fournit un cadre fonctionnel adapté à l'utilisation de conditions au bord de régularité Lp avec 1 < p < ∞.
Concrètement, et sur une idée due à Bers et Nirenberg, les solutions de l'équation de diffusion sont vues comme les parties réelles de solutions complexes de l'équation de Beltrami conjuguée associée suivante :

                                                                         

où ν=(1-σ)/(1+σ). Ainsi, si f=u+iv est solution alors u satisfait l'équation de conductivité alors que v est solution d'une équation similaire, à savoir

                                                                     

De plus u et v sont reliées entre elles par un système généralisant les équations de Cauchy-Riemann, soit en notant z=x+iy la coordonnée complexe

                                                                 

La fonction v est alors appelée la conjuguée harmonique généralisée de u. Suite à cela, on introduit des classes de Hardy généralisées Hνp(Ω) de solutions de cette équation de Beltrami dont on étudie les propriétés (existence de traces, propriété de prolongement unique, unicité à partir des valeurs au bord de la partie réelle, décomposition en espaces élémentaires,...). On étudie aussi le caractère multivalué que peuvent présenter les solutions résultant de l'intégration du système de Cauchy-Riemann généralisé suite à la géométrie doublement connexe du domaine d'étude. En particulier, on exhibe un ensemble de solutions à l'équation de conductivité qui n'admettent pas de conjuguées harmoniques généralisées, permettant ainsi de "rectifier" les mesures effectuées sur la composante I de ∂Ω de telle sorte qu'elles satisfassent la condition de compatibilité. La régularisation du problème inverse, quant à elle, est rendue possible grâce à certains résultats d'existence et de régularité des solutions du problème de Dirichlet dans un anneau pour l'équation de Beltrami conjuguée, et donc pour l'équation de diffusion, ainsi que de densité des traces sur la frontière.

Problèmes extrémaux bornés

A partir des résultats théoriques, on reformule le problème inverse comme un problème de meilleure approximation sur la partie I⊂∂Ω, ainsi qu'en contraignant en norme la solution cherchée sur la partie complémentaire du bord J où on ne dispose pas de données. La technique consiste à introduire la classe de fonctions

            

où M∈ℝ+ et h∈Lp(J) sont des paramètres ajustés en fonction de la connaissance physique que l'on a du système étudié. Notons que la condition de bornitude sur la partie J du bord est rendue nécessaire par le fait l'approximation sur I par les résultats de densité obtenus se fait au détriment du comportement de l'approximant sur J. On prouve alors que quelque soit la donnée Fd ∈Lp(I), il existe une unique fonction g0 ∈BhM minimisant le critère d'approximation EFd = ∥Fd - g∥Lp(I) lorsque g parcourt BhM. Dans le cas hilbertien (p=2), g0 s'exprime comme la solution d'une équation variationnelle et peut être déterminée explicitement à partir de la caractérisation de l'opérateur de projection orthogonale de L2(∂Ω) sur tr Hν2(Ω) à partir de bases de fonctions adaptées (sur lesquelles on peut développer les fonctions des classes de Hardy ainsi que leurs traces sur le bord). Par séparation des variables on calcule des solutions explicites à l'équation de Beltrami conjuguée qui s'expriment sous la forme de produits de fonctions circulaires par des harmoniques toroidales (fonctions de Legendre d'indices demi-entiers).

Identification de la frontière plasma dans un tokamak

Lorsque le coefficient de diffusion σ revêt une forme particulière, léquation de conductivité réelle modélise le comportement de plasmas confinés dans les sections méridiennes de tokamaks. L'identification de la frontière plasma est un travail qui est mené en collaboration avec Jean Paul-Marmorat (Mines de Paris) et François Saint-Laurent, ingénieur de recherches au CEA-IRFM (Cadarache). Une méthode numérique a été développée permettant de retrouver des quantités magnétiques telles que le flux et le champ, modélisés respectivement par u et σ∂nu, à l'intérieur du tokamak Tore Supra (Cadarache, France), depuis des mesures effectuées sur toute la paroi externe de la machine. La frontière plasma s'obtient alors en déterminant une ligne de niveau particulière du flux.
Un algorithme de descente pour le critère d'adéquation aux données mesurées EFd a été mis en place et qui permet de faire évoluer l'estimation de la frontière du plasma. La méthode utilisée est avantageuse car elle ne recquiert pas d'intégration dans le domaine et permet d'exprimer la solution du problème de Cauchy comme une combinaison de véritables solutions de l'équation de conductivité, ce qui contraste avec les techniques d'éléments finis utilisées jusqu'à présent. Cette méthode a fourni de bons résultats et semble appelée à connaître des extensions pour d'autres tokamaks, tels que JET et ITER (collaboration avec Jacques Blum et Blaise Faugeras du laboratoire Jean Alexandre Dieudonné de l'Université de Nice Sophia-Antipolis).