Thèse d'Antoine Lejay ( cf. curriculum vitæ), dirigée par Étienne Pardoux.

Soutenue le 19 janvier 2000 à l'Université de Provence

Méthodes probabilistes pour l'homogénéisation des opérateurs sous forme divergence : cas linéaires et semi-linéaires.

Résumé

La propriété d'homogénéisation est démontrée ici par des méthodes probabilistes pour des équations linéraires paraboliques ou elliptique avec un opérateur aux dérivées partielles du second-ordre écrit sous forme divergence, et sans autre condition sur son coefficient que d'être uniformément elliptique et borné. Cette approche permet aussi de traiter des termes différentiels d'ordre un ou zéro, fortement oscillants ou non. Les coefficients de l'opérateur sont des champs aléatoires stationnaires et ergodiques, ou sont périodiques. Cela revient à prouver un théorème central limite pour le processus de Markov dont le générateur infinitésimal est l'opérateur différentiel du second-ordre. Ici, il convient d'utiliser la théorie du calcul stochastique pour les processus associés à des formes de Dirichlet, et non plus le calcul stochastique d'Itô.

La propriété d'homogénéisation est ensuite prouvée pour des systèmes d'équations paraboliques semi-linéraires en utilisant les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), toujours lorsque l'opérateur différentiel du second-ordre est un opérateur sous forme divergence. Il a fallu auparavant démontrer que les EDSR permettent bien de trouver la solution faible de tels systèmes, ce qui est résolu ici par approximations.

Enfin, quelques résultats particuliers à la dimension un sont donnés en utilisant la caractérisation des processus de Markov pour cette dimension par sa fonction d'échelle et sa mesure de vitesse.

Mots-clefs

homogénéisation, opérateur sous-forme divergence, processus stochastique, forme de Dirichlet, équation semi-linéaire, EDSR, milieu périodique, milieu aléatoire.
Probabilistic methods for the homogenization of divergence-form operators: linear and semilinear cases.

Abstract

The homogenization property is proved here with some probabilistic methods for parabolic or elliptic equations with a second-order, divergence-form, partial differential operator. The only condition assumed on the coefficient is boundness and ellipticity. The first and zero order terms --- even higly oscillating --- are also treated, and the coefficients of the operator are either stationary, ergodic random fields or periodic. We are lead to prove a Central Limit Theorem on the process whose infinitesimal generator is the divergence-form operator. Here, the stochastic calculus for Markov processes associated to Dirichlet forms has to be used instead of Itô's stochastic calculus.

Then, the homogenization property is proved for system of semilinear parabolic PDEs using Backward Stochastic Differential Equations (BSDE). The fact that BSDE gives also the weak solutions of some semilinear parabolic PDEs has been proved first by approximation.

Finally, some results concerning the particular case of a one dimensional space are given using the characterization of a Markov process by its speed measure and its scale function.

Keywords

homogenization, divergence-form operator, Dirichlet form, stochastic process, semilinear equation, BSDE, periodic media, random media.