Thèse d'Antoine Lejay
( cf. curriculum vitæ), dirigée par Étienne Pardoux.
Soutenue le 19 janvier 2000 à
l'Université de Provence
Méthodes probabilistes pour l'homogénéisation des
opérateurs sous forme divergence : cas linéaires et
semi-linéaires.
Résumé
La propriété d'homogénéisation est démontrée ici par
des méthodes probabilistes pour des
équations linéraires paraboliques ou elliptique
avec un opérateur aux dérivées partielles du second-ordre
écrit sous forme divergence, et sans autre
condition sur son coefficient que d'être uniformément
elliptique et borné.
Cette approche permet aussi de traiter des termes différentiels
d'ordre un ou zéro, fortement oscillants ou non.
Les coefficients de l'opérateur sont des champs
aléatoires stationnaires et ergodiques, ou sont périodiques.
Cela revient à prouver un
théorème central limite pour le processus
de Markov dont le générateur infinitésimal est l'opérateur
différentiel du second-ordre. Ici, il convient
d'utiliser la théorie du calcul stochastique pour les
processus associés à des formes de Dirichlet, et non
plus le calcul stochastique d'Itô.
La propriété d'homogénéisation est ensuite
prouvée pour des systèmes d'équations paraboliques
semi-linéraires en utilisant les équations différentielles
stochastiques rétrogrades (EDSR), toujours lorsque
l'opérateur différentiel du second-ordre est un opérateur sous
forme divergence. Il a fallu auparavant
démontrer que les EDSR permettent bien de trouver
la solution faible de tels systèmes, ce qui est
résolu ici par approximations.
Enfin, quelques résultats particuliers à la dimension un
sont donnés en utilisant la caractérisation
des processus de Markov pour cette dimension
par sa fonction d'échelle et sa mesure de vitesse.
Mots-clefs
homogénéisation, opérateur
sous-forme divergence, processus stochastique, forme
de Dirichlet, équation semi-linéaire, EDSR, milieu périodique,
milieu aléatoire.
Probabilistic methods for the homogenization
of divergence-form operators: linear and semilinear
cases.
Abstract
The homogenization property is proved here with some
probabilistic methods for parabolic or elliptic equations
with a second-order, divergence-form, partial differential operator.
The only condition assumed on the coefficient is boundness
and ellipticity. The first and zero order terms
--- even higly oscillating --- are also treated,
and the coefficients of the operator are either
stationary, ergodic random fields or periodic. We are
lead to prove a Central Limit Theorem on the process
whose infinitesimal generator is the divergence-form
operator. Here, the stochastic calculus for Markov
processes associated to Dirichlet forms has to be used
instead of Itô's stochastic calculus.
Then, the homogenization property is proved for
system of semilinear parabolic PDEs using Backward
Stochastic Differential Equations (BSDE). The fact
that BSDE gives also the weak solutions of
some semilinear parabolic PDEs has been proved first
by approximation.
Finally, some results concerning the particular
case of a one dimensional space are given
using the characterization of a Markov
process by its speed measure and its scale function.
Keywords
homogenization, divergence-form operator, Dirichlet form,
stochastic process, semilinear equation, BSDE, periodic media,
random media.