Commande d'un manipulateur mobile non-holonôme (M. Fruchard, doctorant, P. Morin, C. Samson)

Au cours de la première année du projet, nous avions traité le cas réputé plus simple d'un manipulateur mobile redondant et holonôme en utilisant le formalisme de l'approche de commande par fonctions de tâches [#!Oxford91!#]. Ce formalisme fournit un cadre méthodologique général pour la commande des systèmes robotiques holonômes. Nous l'avons repris pour l'adapter au problème de suivi d'un objet par un manipulateur mobile redondant dont la base est omnidirectionnelle. Les lois de commande que nous avons synthétisées de cette façon ont été validées par des simulations sous MATLAB.
Forts de cette expérience, nous avons abordé cette année le cas d'un manipulateur mobile dont la base est sujette à des contraintes non-holonômes. La difficulté à commander les systèmes non-holonômes est essentiellement liée au fait que les approximations linéaires de ces systèmes, en un point d'équilibre, ne sont pas stabilisables. L'approche par fonctions transverses [#!morin01-siam!#], [#!morin03-jesa!#], [#!morin03-tac!#] que nous développons depuis quelques années est une alternative à d'autres approches de synthèse de lois de commande par retour d'état pour la stabilisation de ces systèmes. Une des pierres angulaires de l'approche est qu'elle vise en premier lieu à assurer la stabilisation asymptotique, non pas d'un point d'équilibre du système, mais d'un ensemble contenu dans voisinage arbitrairement petit de ce point (voir Fig. ). Il s'agit donc d'une forme de stabilisation pratique. Pour préciser un peu les choses sur le plan technique, considérons un système non-holonôme commandable dont le mouvement est régi par une équation de la forme: $\dot{g}=\sum_{i=1}^m \mathbf{X}_i(g) u_i$, avec $m < n$ et $g \in \mathbb{R}^n$ l'état du système. Supposons, pour simplifier, que ce système possède une approximation homogène commandable dont les champs de commande engendrent une algèbre de Lie de dimension $n$. L'approche par fonctions transverses repose sur l'existence (démontrée) d'une fonction $f(\theta)$, $\theta$ appartenant au tore de dimension $(n-m)$, périodique et bornée dont la variation infinitésimale, en un point $\theta$ quelconque, est "transverse" aux directions données par les champs de vecteurs $X_i$ évalués en $f(\theta)$. Cette fonction peut d'autre part être associée à un changement de variables $z \triangleq \phi(g,\; f(\theta))$, $z \in \mathbb{R}^n$, tel que $z$ est d'autant plus proche de $g$ que $\vert f(\theta)\vert$ est petit, et tel que, le long des trajectoires du système, la variation de $z$ est donnée par: $\dot{z}=\mathbf{\bar{H}} v$, avec $\mathbf{\bar{H}}$ inversible (grâce à la propriété de transversalité évoquée ci-dessus) et $v = [u_1,\cdots,u_m,\dot{\theta}_1,\cdots,\dot{\theta}_{n-m}]^t$. En interprétant $v$ comme un vecteur de commande de dimension $n$, l'équation de variation de $z$ est formellement similaire à celle d'un système holonôme complètement commandé, disposant d'autant de variables de commande (ou de degrés de liberté) que de variables à commander. L'application de l'approche par fonctions transverses revient donc, d'une certaine manière, à ``substituer'' au système non-holonôme de départ, dont l'état est $g$, un système ``voisin'' holonôme, dont l'état est $z$.

Figure: Base mobile de type unicycle (au centre), sa transformée omnidirectionnelle (cerclée), et la projection sur le plan de l'ensemble image de la fonction transverse utilisée pour la transformation (en noir).

Une des applications immédiate de cette approche est la stabilisation pratique d'une trajectoire de référence quelconque, c.a.d. non nécessairement réalisable par le système non-holonôme. La méthode a été validée en simulation et expérimentalement sur notre robot mobile de laboratoire ANIS, dans le cadre du suivi référencé vision d'une cible omnidirectionnelle par un véhicule de type unicycle [#!artus03!#].
Son adaptation à la manipulation mobile n'est cependant pas directe, parce qu'il importe, complémentairement à l'objectif de stabilisation pratique, de respecter les contraintes ``fortes'' associées aux objectifs de manipulation au niveau de l'organe terminal du manipulateur. Cette difficulté, et le souci de faciliter conceptuellement le couplage avec l'approche par fonctions de tâches utilisée pour les manipulateurs mobiles holonômes --ou avec toute autre méthodologie de synthèse de commande de manipulateurs holonômes--, nous ont conduits à introduire la notion de manipulateur mobile omnidirectionnel équivalent au système non-holonôme, pour la tâche de manipulation considérée. La notion d'équivalence repose ici sur l'existence d'un changement de coordonnées i) faisant passer de l'état du système non-holonôme à l'état ``voisin'' (au sens de l'approche par fonctions transverses) d'un système omnidirectionnel virtuel, et ii) laissant invariantes certaines équations de contraintes de sorte que la réalisation de l'objectif de manipulation, au niveau de l'effecteur, pour un des systèmes entraîne la réalisation de cet objectif pour le second (voir Fig. ). L'existence d'un tel changement de variables est liée à la redondance mécanique du système. Le problème, tel que posé ci-dessus, admet aussi plusieurs solutions du fait que plusieurs jeux de contraintes sont envisageables. La détermination d'une solution ``meilleure'' que les autres demeure, pour l'instant, une question ouverte.

Figure: Manipulateur mobile non-holonôme et le manipulateur mobile omnidirectionnel équivalent, pour une tâche de suivi de cible.

L'intérêt de définir un manipulateur mobile omnidirectionnel équivalent est de permettre de ramener le problème de synthèse de commande à celui, plus simple, du cas holonôme étudié précédemment. En particulier, l'application de l'approche par fonctions de tâches à ce système virtuel permet de déterminer une loi de commande cinématique pour ce système. Il ne reste plus alors qu'à utiliser les relations (biunivoques, grâce aux propriétés de transversalité de la fonction intervenant dans le changement de coordonnées) entre les entrées des deux systèmes pour obtenir la loi de commande équivalente pour le système physique non-holonôme.
Cette méthode a été testée en simulation pour un manipulateur mobile dont la base non-holonôme est de type unicycle, dans le cadre d'un problème de suivi de cible référencé vision. La suite de ce travail portera sur:

• Le traitement d'un certain nombre d'aspects techniques liés à la mise en uvre des commandes sur un système physique.
• L'implémentation et l'expérimentation sur notre manipulateur mobile ANIS.
• La généralisation de la méthode à des architectures robotiques différentes (robots mobiles à bases non-holonômes de type voiture, par exemple), et pour la réalisation d'autres tâches robotiques.