20.2 Opérateur d'unicité: Kantorovitch

$$F=\{ F_i(x_1,\ldots,x_n)=0, i\in [1,n]\}$$

$B$ une boîte et ${\bf X_0}$ le milieu de $B$

1. la jacobienne du système a une inverse $\Gamma_0$ en ${\bf X_0}$ avec $\vert\vert\Gamma_0\vert\vert \le A_0$
2. $\vert\vert\Gamma_0 F({\bf X_0})\vert\vert \le 2B_0$
3. $\sum_{k=1}^{n}\vert\frac{\partial^2F_i({\bf x})}{\partial x_j\partial x_k}\vert \le C$ pour $i,j=1,\ldots,n$ et ${\bf x} \in B$
4. les constantes $A_0, B_0, C$ satisfont $2nA_0B_0C \le 1$

Alors

1. il y a une solution unique pour $F=0$ dans
   $U=\{ {\bf X} / \vert\vert{\bf X} -{\bf X_0}\vert\vert\le 2B_0\}$
2. la méthode de Newton initialisée avec ${\bf X_0}$ convergera vers la solution

Utilisation: pour une boîte donnée

• calculer $A_0, B_0, C$ avec de l'arithmétique d'intervalles
• calculer $U=2nA_0B_0C$: si $\overline{U}\le 1$ alors $\overline{B_0}$ est le diamètre d'une boîte centrée en ${\bf X_0}$ contenant une solution unique de $F=0$, calculable avec le schéma de Newton

Exemple: $f(x)=\cosh(x)\sin(x)-(x-1)\cos(x)$
solution unique dans
$[-3.4504,-3.41308]$, $[-1.14694,-0.853064]$, $[3.00813,3.42186]$