Calcul de la vraisemblance

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Calcul de la vraisemblance

Expression des différentes probabilités :

Y suit la distribution du bruit gaussien N ( $\sigma$ ), N=Y-HX :

$\begin{displaymath}P(Y\,\vert\,X,\lambda,\delta)=\frac{1}{K_\sigma}e^{-\vert\vert Y-HX\vert\vert^2/2\sigma^2}\end{displaymath}$

Distribution a priori de X :

C'est une probabilité gibbsienne, car X est un champ de Markov.
$\begin{displaymath}P(X\,\vert\,\lambda,\delta)=\frac{1}{Z}e^{-\Phi(X,\lambda,\delta)}\end{displaymath}$

La vraisemblance de $\lambda$ , $\delta$ s'écrit finalement :

$\begin{displaymath}P(Y\,\vert\,\lambda,\delta)=\frac{Z_Y}{Z\,K_\sigma}\end{displaymath}$

Z, Z_Y = fonctions de partition (cf. physique statistique) ,
ce sont des constantes de normalisation.

$\begin{displaymath}Z=\sum_{X\in\Omega}e^{-\Phi(X,\lambda,\delta)}\end{displaymath}$ $\begin{displaymath}Z_Y=\sum_{X\in\Omega}e^{-\vert\vert Y-HX\vert\vert^2/2\sigma^2-\Phi(X,\lambda,\delta)}\end{displaymath}$

$\Omega$ est l'ensemble des images $N_x\times N_y$ , M niveaux de gris.
$Card(\Omega)=M^{N_x\,N_y}$ : minimum $256^{128\times128}$ :
Impossible de calculer directement les fonctions de partition !
à cause de la dimension de l'espace $\Omega$ .
On ne cherchera donc pas à les calculer, mais à les estimer.

André Jalobeanu - 17 / 8 / 1998