Expérimentations numériques

Fissure sur l'axe réel avec une fonction de saut positive

Le premier cas que nous allons considérer est celui pour lequel la fissure est un segment de l'axe réel. Comme nous l'avons vu, il s'agit d'un cas particulièrement favorable puisque si le saut de température change k fois de signe sur le segment, on aura tous les pôles sur la fissure à l'exception d'au plus k pôles.

  

Figure 4.1: Caractéristiques de la solution pour $\Phi(\theta)=\sin\theta$.

[Saut de température $\sigma$ sur $\gamma$.] [width=.45]d1sigma.ps [Rapport des valeurs singulières s_k/s_k+1.] [width=.45]d1vs.ps

Pour représenter notre fissure droite, nous avons choisi de décrire la fissure comme une ellipse $\mathcal E$ extrêmement fine :

$$\mathcal E= \left\{ z = e_1 \cos\theta + i e_2 \sin\theta ~:~ \theta \in [0,2\pi)\right\},$$ (4.1)

pour e₁=1/2 et e₂=10^-5. Les valeurs de $\theta$ sont équiréparties, de manière à ce que les points extrémaux $\gamma_0$ et $\gamma_1$ bénéficient de mesures plus rapprochées.

La première fonction que l'on choisit comme flux $\Phi(\theta)$ sera tout d'abord un simple sinus $\Phi(\theta)=\sin\theta$ de l'argument $\theta$. Comme on peut immédiatement le constater sur la figure 4.1 (a), le saut de température sur la fissure ne change pas de signe pour ce flux, ce qui nous donne les conditions optimales sur la convergence des pôles.

Le cas $H^\infty _N$

Les valeurs de u sont mesurées sur 1000 points du bord, et l'on estime les coefficients d'une série de Fourier tronquée entre les degrés -70 et 70.
La figure 4.1 (b) nous montre que la décroissance des dix premières valeurs singulières de l'opérateur de Hankel estimé est parfaitement géométrique. Au-delà de ce degré, les valeurs singulières semblent stagner dans un même ordre de grandeur. Un estimation de cette onzième valeur singulière nous donne environ 10^-14. Sachant que la norme $L^\infty$ de la fonction est de l'ordre de l'unité, le rapport entre ces deux valeurs correspond donc à l'ordre de précision des calculs en machine (double précision).

  

Figure 4.2: Comportement des pôles AAK pour $\Phi(\theta)=\sin\theta$.

[Pôles de l'approximant de degré 11] [width=.45]d1_11.ps [Pôles de l'approximant de degré 12] [width=.45]d1_12.ps

Observons maintenant le positionnement des pôles sur la figure 4.2. On constate que les résultats obtenus se confirment effectivement jusqu'au degré 11 puisque les pôles (représentés par des 'x') sont sans exception sur la fissure. Dès le degré suivant, en revanche, on commence à voir l'apparition de pôles hors de la fissure. Qui plus est, ce pôle ``résiduel'' semble correspondre parfaitement avec un zéro (représenté par un 'o') de l'approximant, ce qui laisse supposer que la fraction obtenue pourrait se simplifier en ce pôle.

En un sens, ceci peut apparaître comme logique en considérant une propriété des approximants AAK, selon laquelle l'erreur d'approximation f-g_N est de module constant presque partout sur $\mathbb{T}$ et égale à la valeur singulière s_N. De ce fait, ceci nous indique que lorsque s_N atteint la précision machine, l'approximant g_N coïncide avec f presque partout à la précision machine près, ce qui se traduit encore par le fait que, pour la machine, f n'est pas discernable de g_N. Il serait donc illogique d'espérer une meilleure approximation, avec les outils en présence.

Le cas H²_N

Dans un tel cas, l'approximation L² présente un intérêt moindre par rapport à l'approximation AAK. Le temps de calcul de cette dernière approche est en effet négligeable en comparaison d'un algorithme itératif comme celui que nous utilisons. Nous avons en effet pu constater que l'algorithme de Newton semble prendre ici un temps considérable dès que l'on dépasse le degré 6, principalement parce que l'approximant est déjà très proche de la fonction originale. On peut en effet voir que le critère $\left\Vert f-p/q\right\Vert _2^2/\left\Vert f\right\Vert _2^2$ vaut déjà 4,561.10^-15. Les données fournies à l'algorithme étant connues avec une précision relative de l'ordre de 10^-14, ceci explique la raison pour laquelle on pourra difficilement espérer obtenir plus de pôles.

  

Figure 4.3: Comportement des pôles H²₆ pour $\Phi(\theta)=\sin\theta$.

[Pôles de l'approximant de degré 6] [width=.45]droite6_l2.ps [Pôles avec la fissure] [width=.45]droite6_l2c.ps

Néanmoins, les pôles de degré 6 sont obtenus dans un temps très raisonnable et ceux-ci donnent déjà une information correcte sur la localisation, comme en atteste la figure 4.3. Puisque le saut de température est positif, ces résultats illustrent bien une conséquence du théorème 13 puisque tous les pôles sont effectivement sur la fissure, et pas uniquement dans un voisinage.

Fissure sur l'axe réel avec changement de signe de la fonction saut

  

Figure 4.4: Caractéristiques de la solution pour $\Phi(\theta)=\cos\theta+2\!\cos{2\theta}+2\!\sin{2\theta}$.

[Saut de température $\sigma$ sur $\gamma$.] [width=.45]d2sigma.ps [Rapport des valeurs singulières s_k/s_k+1.] [width=.45]d2vs.ps

Dans ce deuxième cas de figure, on conserve la fissure définie par $\mathcal E$ en (4.1) mais le flux choisi est à présent $\Phi(\theta)=\cos\theta+2\cos{2\theta}+2\sin{2\theta}$.

Le premier constat que l'on peut faire dans ce cas, en observant la figure 4.4 (a), est que la fonction de saut $\sigma$ change une fois de signe sur $\mathcal E$. Selon les résultats donnés par les théorèmes 11 et 

#1#2#3#4#5 #1#2pt #3#4#5

 Comme l'indique la troisième relation dans (1.1), le flux $\Phi$ est nul sur la fissure $\gamma$, ce qui signifie que celle-ci est parfaitement isolante (et induit donc une discontinuité dans la température) mais on notera que par conjugaison harmonique, ce problème peut se ramener au cas d'un conducteur parfait (conductivité infinie).
Pour que ce problème direct admette une solution, il faut que la circulation du flux $\Phi$ soit nulle, ce qui s'exprime par la condition

D'autre part, le problème étant Neumann pur, on peut remarquer que toute solution u du problème restera solution à une constante additive près. On ajoutera donc la condition de normalisation

(4.3)

afin de sélectionner une solution.

Le problème de contrôle que nous souhaitons résoudre est le problème inverse associé au problème (1.1), lorsque l'on ne connaît pas la fissure $\gamma$ et qu'on dispose pour l'identifier de données surdéterminées sur le bord extérieur $\Gamma$, sous la forme de couples (u,$\Phi$).
Pour déterminer sous quelles conditions ce problème inverse est bien posé et en proposer une méthode de résolution, il nous faut examiner les trois points suivants :

$\bullet$

Identifiablité
Pour p>0, on notera $\mathcal S^p(D)$ l'espace de Sobolev sur un domaine D de $\mathbb{R}^n$. Cette définition est étendue pour p<0 par dualité de manière classique (voir par exemple [32] pour plus de détails).
Définissons, pour une fissure $\gamma$, l'opérateur de Poincaré-Steklov $\Lambda_\gamma$ associé

$$\begin{array}{lrcl} \Lambda_\gamma~: & \mathcal S^{-\frac{1}... ...\frac{1}{2}}{(\Gamma)} \\ & \Phi & \longmapsto & u \end{array}$$ (4.4)

Un résultat d'identifiabilité pour la fissure consiste à prouver que l'opérateur qui à $\gamma$ associe $\Lambda_\gamma$ est injectif.
Toutefois, dans la mesure où l'on ne dispose au plus que d'un ensemble fini de couples $(u,\Phi)$, il nous faut un résultat plus fort. On ne pourra en effet assurer l'identifiabilité que si, pour un flux $\Phi$ donné (ou pour un ensemble fini de flux), l'opérateur associé

$$\begin{array}{lrcl} \eta_{\Phi}~: & \Sigma & \longrightarrow ... ...\Gamma)}\\ & \gamma & \longmapsto & u\vert _\Gamma \end{array}$$ (4.5)

(où $\Sigma$ est l'ensemble des fissures admissibles dans D) est injectif.

$\bullet$

Stabilité
Une fois que l'on a la première condition remplie, il convient de s'assurer de la stabilité de la solution par rapport aux données. Pour cela, il est nécessaire que, pour le flux $\Phi$ choisi et $\eta_\Phi$ défini comme ci-dessus, l'opérateur inverse

$$\begin{array}{lccl} \eta^{-1}_{\Phi}~: & \eta_\Phi(\Sigma) & \longrightarrow &\Sigma\\ & u & \longmapsto & \gamma \end{array}$$ (4.6)

soit continu (pour une topologie préalablement choisie).

$\bullet$

Identification
Lorsque les deux conditions précédentes sont remplies, ce problème est bien posé au sens d'Hadamard et l'on peut aborder la question de l'identification. Il s'agit de définir un procédé d'inversion (un ou plusieurs flux $\Phi$ et l'opérateur $\eta^{-1}_\Phi$ associé) afin de retrouver la localisation et la forme de la fissure à partir de la réponse du sytème (la température, ici) au flux $\Phi$ choisi.