Démonstration de la propriété 4.1

Soit $ABC$ un triangle et $G$ son centre de gravité.
Soit $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$. Soient $\alpha, \beta, \gamma \in [0, \pi]$, les angles non-orientés incidants respectivement aux sommets $A$, $B$ et $C$.

Figure: Un triangle $ABC$ et son centre de gravité $G$

Deux propriétés du centre de gravité, que nous ne démontrerons pas, vont nous servir dans cette preuve :

• $G$ est l'intersection des médianes du triangle.
• $GC=\frac{2CI}{3}$, $GB=\frac{2BJ}{3}$ et $GA=\frac{2AK}{3}$.

On peut calculer le cosinus de l'angle $\alpha$ dans le triangle ABC en fonction des distances $AB$, $AC$ et $BC$ :

$$cos(\alpha) = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}\$$ (1)

De même, on peut calculer ce cosinus dans le triangles $ABJ$ :

$$cos(\alpha) = \frac{AB^2+AJ^2-BJ^2}{2AB.AJ}$$ (2)

Si $AB \neq 0$ et $AC \neq 0$ alors avec ces deux égalités on obtient :

$\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}$	$=$	$\frac{AB^2+AJ^2-BJ^2}{2AB.AJ}$
$\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}$	$=$	$\frac{AB^2+\frac{AC^2}{4} - \frac{9GB^2}{4}}{AB.AC}$
$2AB^2+2AC^2-2BC^2$	$=$	$4AB^2+AC^2-9GB^2$
$9GB^2$	$=$	$2AB^2+2BC^2-AC^2$
$GB^2$	$=$	$\frac{1}{9}(2AB^2+2BC^2-AC^2)$

On peut obtenir les autres égalités en mettant en relation de la même façon les cosinus de $\beta$ et $\gamma$ dans les triangles $ABC$ avec $ACK$ et $BCI$. $\square$.
Ce qui est intéressant dans cette preuve est l'égalité des cosinus. Cela veut dire que la position dans l'espace du barycentre est liée aux angles du triangle. L'introduction de ce point va donc nous permettre de faire un meilleur filtrage, puisqu'il met en jeu implicitement la notion d'angle.