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Des exemples de ce que peut faire l'analyse par intervalles

Date: Version 0.1, Juillet 2002
Date: Version 0.2, Novembre 2002
Date: Version 0.3, Mars 2003
Date: Version 0.4, Mai 2004
Date: Version 1.0, Septembre 2006

1  Introduction

Une introduction en français aux techniques de l'analyse par intervalles avec quelques exemples classiques et moins classiques

2  Résolution de systèmes

2.1  Solutions de systèmes constitués d'inégalités

Une introduction (en anglais)

2.2  Solutions de système de dimension supérieur à 0

Un exemple

3  Autres types de problèmes

3.1  Racines de polynômes univariés

Une introduction

4  Applications

4.1  Conception d'un mécanisme de direction

Exemple de résolution de système, d'analyse d'erreur et de traitement de variété de dimension 1 (pdf, en anglais): l'exemple

4.2  Modèle géométrique direct de robot parallèle

Exemple de résolution d'un système d'équations difficiles pour un problème de robotique (pdf, en anglais) l'exemple

4.3  Calcul d'espace de travail de robot parallèle

Un exemple difficile montrant comment on peut calculer une approximation d'une variété en dimension 6 dont les inconnues doivent satisfaire des inégalités, en anglais: postscript  pdf

On peut aussi s'intéresser à la partie de l'espace de travail où le robot est bien conditionné. Un robot est muni de capteurs qui mesure son état interne et qui servent à la commande de la position de la main du robot. Les erreurs de mesure de ces capteurs engendrent une erreur sur le positionnement de la main et l'on recherche la partie de l'espace de travail pour lequel le facteur d'amplification entre erreurs capteur et erreur de positionnement est dans un intervalle donné: pdf, en anglais

4.4  Vérification de trajectoires de robots

Il s'agit de vérifier si une trajectoire définie analytiquement comme fonction du temps est entièrement contenue dans l'espace de travail du robot qui est défini par un système d'inégalité. L'analyse par intervalles permet de prendre en compte les incertitudes dans la modélisation du robot: pdf, en anglais

4.5  Singularité de robots parallèles

Il existe une relation linéaire entre les vitesses de translation et angulaires X de l'organe terminal d'un robot et les vitesses T de ces articulations motorisées qui s'écrit sous la forme T= J X où J est appelé traditionnellement matrice jacobienne du robot. Pour les robot parallèles cette matrice est connue sous forme analytique. Un problème apparaît lorsque la matrice jacobienne devient singulière: pour une vitesse nulle des actionneurs l'organe terminal pourra avoir une vitesse non nulle, ce qui veut dire en pratique que l'on ne commande plus le robot. Plus grave encore dans ces conditions les forces/couples des actionneurs peuvent tendre vers l'infini, ce qui provoquera évidemment la destruction du robot. Il est donc essentiel de savoir détecter si dans un espace de travail donné la matrice jacobienne pourra être singulière.

Ce problème est complexe car même si l'on connaît la jacobienne, obtenir son déterminant analytiquement est parfois impossible en raison de sa taille ou de sa complexité. De plus il faut pouvoir gérer le fait qu'intervient dans la jacobienne des paramètres géométriques du robot qui ne sont connu qu'imparfaitement.

L'analyse par intervalles permet de résoudre très efficacement ce problème et à notre connaissance c'est la seule méthode qui permet de certifier l'absence de singularité, tout en prenant en compte les incertitudes. Toutefois pour obtenir un algorithme réellement efficace il convient de maîtriser des test complexes sur la régularité de matrices dont les composantes sont des intervalles: pdf, en anglais

4.6  Conception optimale de robots

Un robot est défini par un ensemble de paramètres géométriques (comme des longueurs de bras, des vecteurs définissant la direction d'un axe de rotation,...) et le choix de ces paramètres influencent très fortement les performances du robot. On recherche ici les valeurs de ces paramètres qui permettent de garantir que le robot pourra atteindre un certain nombre de positions tout en garantissant que la précision du robot est meilleure qu'un seuil donné. L'originalité ici est de trouver une approximation de l'ensemble des solutions possibles. Cela permet en particulier de prendre en compte les erreurs de fabrication et donc de garantir que la réalisation physique du modèle théorique du robot pourra atteindre les positions demandées: pdf, en anglais

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