19.6 Méthode de linéarisation (global)

Soit un système $f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0, i \in [1,m]$ et $X=\{X_1,\ldots,X_n\}$

Posons $y_j=x_j-\underline{X_j}$ et supposons que les $f_i$ contiennent au moins un terme linéaire dans un des $y_j$. On a

$$f_i = g_i(x)+ \sum a_k y_k$$

où les $a_k$ sont des constantes et les $g_i$ représente la partie non-linéaire de $f_i$. Posons $z_i = g_i(x)$ et $Z_i$ l'évaluation par intervalle de $G_i(X)$. On a alors:

$$\begin{eqnarray*} && z_i +\sum a_k y_k =0 \\ && 0 \le y_k \le \overline{X_k}-\underline{X_k} \\ && \underline{Z_i} \le z_i \le \overline{Z_i} \end{eqnarray*}$$

un système linéaire d'égalités et d'inégalités dans les variables $y_i, z_i$

On peut alors utiliser la méthode du simplex pour:

1. déterminer s'il existe une région faisable pour ce système (sinon pas de solution)
2. déterminer le minimum $y^m_i$ et le maximum $y^M_i$ des $y_i$:
   1. si $y^m_i >0$, alors $\underline{X_i}=y^m_i$
   2. si $y^M_i <\overline{X_k}-\underline{X_k}$, alors $\overline{X_i}=\underline{X_k}+y^M_i$
   3. la mise à jour d'une variable implique de recalculer $a_k, \underline{Z_i}, \overline{Z_i}$