19.4 Newton intervalle mono-variable

Soit

$$N(X_k)=(x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(X_k)})$$

où $x_0$ appartient à l'intervalle $X_k$ (par exemple $x_0=Mid(X_k)$)

$$X_{k+1}= N(X_k) \cap X_k$$

alors:

• $X_{k+1}=\emptyset \Rightarrow$ pas de solution de $f(x)=0$ dans $X_k$
• s'il existe un zéro de $f$ dans $X$ alors il appartient aussi à $N(X)$
• si $0 \not\in f^\prime(X)$ alors il existe $C$ tel que $w(X_{k+1})=C w^2(X_k)$
• si $N(X) \subset X$ alors il existe un zéro de $f$ dans $X$
• si $0 \not\in f^\prime(X)$ et il existe un zéro de $f$ dans $X$, alors ce zéro est unique dans $X$