Généralités sur les champs de Markov

Description du résau

Réseau : ensemble S de sites s_i, i.e., les noeuds.

Système de voisinage : , et : $V=\{V_s, s\in S\}$

Clique : singleton ou ensemble de sites tous voisins les uns des autres.

Champ de Markov

X est un champ de Markov relativement à V

Si et seulement si

$$\forall s \in S, P(X_s=x_s \vert X_t=x_t, t\in S-\{s\}) = P(X_s=x_s \vert X_t=x_t, t\in V_s)$$

Champ de Gibbs

Champ dont la probabilité est une mesure de Gibbs

$$P(X=x)=\frac{1}{Z}\exp(-U(x))$$

    avec énergie associée,
              Z constante de normalisation (fonction de partition).

Théorème de Hammersley-Clifford

X est un champ de Markov relativement à V et

X est un champ de Gibbs d'énergie associée à V.