Modèles de type Cahn-Hilliard

Supposons que l'on étudie un système composé d'un matériau dont la densité u peut prendre 2 valeurs a et b, parfois appelées phases. Ce système est initialement instable, et nous nous intéressons à sa configuration de stabilité. La masse du système est supposée constante.

système initial instable

Les travaux menés dans le cadre des modèles de type Cahn-Hilliard ont montré qu'une solution de stabilité est approchée par l'étude du problème suivant (avec contrainte de masse constante) [1][4] :

Cette fonctionnelle constitue précisément les deux derniers termes du modèle que nous proposons en classification et restauration d'images.W est le potentiel de contrainte de niveaux représentant l'énergie libre du système.
La solution u du problème ci-dessus, si elle existe, possède les caractéristiques géométriques suivantes :

u est constante par morceaux (presque partout), avec 2 valeurs admissibles: u(x)=a et u(x)=b.
la frontière entre les régions {x/u(x)=a} et {x/u(x)=b} est de longueur minimale.

une configuration de stabilité possible
Ces travaux ont été étendus au cas de n phases instables dans [1] : téléchargez le Rapport de Recherche pour plus de détails et de références sur ces travaux.