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Déconvolution - Régularisation

Moindres carrés
Une solution simple pour déconvoluer une image = optimiser le critère des moindres carrés.
on cherche l'image $\hat X$ qui minimise la fonctionnelle J(X) : 

J(X)=|| Y-HX || 2
 

C'est un problème inverse mal posé (au sens de Hadamard):

  • la solution n'est pas unique ;
  • elle n'est pas stable.
    • Déconvolution  amplification du bruit

    Faibles variations de l'image observée Y  fortes variations de l'image restaurée X. 

    Exemple (image synthétique) :
    Image originale
    Image dégradée
    Image déconvoluée

    Régularisation
     
    On cherche  l'image qui minimise l'énergie U(X) :  
      

    = terme d'attache aux données (Y=données)

     $\Phi(X)$ = terme de régularisation, qui pénalise les images bruitées

    $\lambda $, $\delta $ = hyperparamètres du modèle

    gradients de X = différences entre pixels voisins 

    = Phi-fonction, c'est le modèle de régularisation

     
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    André Jalobeanu - 17 / 8 / 1998