Puzzle du nid d’abeille

Théorème « du nid d’abeille » : De toutes les formes de même surface avec lesquelles on peut paver le plan, l’hexagone possède le plus petit périmètre.

Nous ne démontrons pas ce théorème général, mais ici, avec cet objet, on peut montrer que l’hexagone régulier a un périmètre plus petit qu’un triangle équilatéral (resp. un carré) de même surface en utilisant des pavages : on reconstitue l’hexagone et le triangle (ou le carré) avec les mêmes formes pour garantir qu’ils ont la même surface. Voir figure ci-dessous. On vérifie ensuite que l’hexagone a le plus petit périmètre en faisant le tour de chaque figure avec la corde.

Histoire

Le théorème pour des pièces ayant des formes de polygonales quelconques a été démontré par le
mathématicien hongrois F. Toth en 1943, et sa version générale pour des pièces avec des formes
aux côtés courbes par T. C. Hales en 1999.

Liens

Du théorème du nid d’abeille à la conjecture de Kelvin
Théorème du nid d’abeille
Pavage avec un seul type de piece

II-Construction

Plan de l’objet

Matériaux

• -colle à plexi
• -colle en bois
• -1 planche en bois 120x70cm d’épaisseur 5mm
• -13 clous
• -1 bobine de corde en coton
• -1 panneau de plexi rouge 40x40cm,épaisseur 5mm
• -1 panneau de plexi bleu 30x30cm,épaisseur 5mm
• -1 panneau de plexi transparent 5x10cm,épaisseur 8mm
• Outil: 1 scie circulaire ou sauteuse , imprimante laser (on en trouve à disposition dans les fablab), 1 marteau , 1 ciseau.

 Nous avons trouvé tout le matériel dans un de ces magasins de bricolage usuels.

Voici les plans que nous avons utilisé :

Montage

• Créer un fichier avec un logiciel vectoriel afin de dessiner les pièces (du triangle rouge et du carré bleu) et pouvoir les imprimer (pour aider à dessiner http://mathafou.free.fr/pbg/sol110b.html )
• Créer un fichier avec le logiciel pour dessiner 11 carrés 8x8mm qui nous serviront de poignées pour chaque pièce du puzzle
• Couper la planche en bois 120x35cm avec la scie et garder la chute pour imprimer les contours de chaque figure avec l’imprimante laser.
• Imprimer avec l’imprimante laser :
  • sur le plexi rouge , les pièces du triange
  • sur le plexi bleu , les pièces du carré
  • sur le plexi transparent , les poignées
  • sur la chute de bois , les contours

• Coller sur la planche en bois les contours en bois avec la colle à bois afin que chaque extrémité du haut de chaque figure soit à la même hauteur
• Coller les poignées au milieu de chaque pièce du puzzle avec la colle à plexi
• Planter les clous à chaque angle des figures
• Couper 3 morceaux de corde (82cm pour le carré , 77cm pour l’hexagone, 93cm le triangle)
• Accrocher la corde correspondante à chaque figure sur un clou qui se trouve en haut de chacune d’elle.

Ces quelques indications ne vous suivent pas ? Aucun souci : contactez-nous ! Nous serons enchanté·e·s de vous aider à réaliser ces objets.

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Pentominos

I-Présentation

Objectif

À une rotation et une symétrie près, il y a douze pentominos différents en tout, chacun étant identifié par une lettre de l’alphabet qui rappelle sa forme.

Le défi est de faire des formes avec ces figures pour se familiariser avec la résolution d’un problème combinatoire :

• Réaliser un rectangle 6×10, 5×12, 4×15 ou 3×20 avec les formes.
• De manière plus créative faire des formes originales avec ces éléments (animal, personnage, …).

Histoire

On trouve un des premiers problèmes de ce genre dans le livre de Henry Dudeney de 1907, The Canterbury Puzzles. L’étude des pavages est entreprise par Solomon W. Golomb autour des années 1960. Golomb invente les noms de polyomino et de pentomino ; il est également le créateur d’un jeu de société « Pentominoes » et en a fait une marque déposée, mais ce nom n’est plus protégé depuis 1982.

Liens

II-Construction

Plan de l’objet

Matériaux

• 1 planche en contreplaqué 40x60cm de 10mm d’épaisseur
• 12 couleurs de peintures (facultatif)
• Outils : 1 mètre et 1 scie sauteuse ou 1 imprimante laser pour plus de précision

Voici le fichier à utiliser avec les formes à découper.

 Nous avons trouvé tout le matériel dans un de ces magasins de bricolage usuels.

Montage

• Couper les pièces du pentominos avec les mesures et les formes dans l’image ci-dessus.
• Pour couper à l’imprimante laser il faut créer un fichier avec un logiciel vectoriel afin de dessiner les pièces et pouvoir les imprimer.

Ces quelques indications ne vous suivent pas ? Aucun souci : contactez-nous ! Nous serons enchanté·e·s de vous aider à réaliser ces objets.

III-Animation

Ref: https://scratch.mit.edu/projects/194668645

IV-Annexe

Quelques solutions possibles.

Par rotation de 90 degrés (1/4 de tour) ou image miroir (retournement de la pièce), les pentominos peuvent engendrer plusieurs formes:
• L, N, P, F et Y engendrent 8 formes : 4 par rotation et 4 parimage miroir.
• Z engendre 4 formes : 2 par rotation et 2 par image miroir.
• T, V, U et W engendrent 4 formes par rotation.
• I engendre 2 formes par rotation.
• X n’engendre qu’une seule forme

Un casse-tête classique avec les pentominos consiste à paver un rectangle sans trous ni chevauchement en utilisant les 12 pentominos. Comme il y a 12 pentominos de 5 carrés, le rectangle doit avoir une surface de 60 carrés; les dimensions possibles sont donc 6×10, 5×12, 4×15 et 3×20.

Un défi plus compliqué est de dénombrer le nombre total de solutions possibles. Dans la plupart des cas, c’est impossible à faire sans l’aide d’un ordinateur et d’un algorithme d’énumération. J. G. Fletcher a le premier résolu le cas 6×10 en 1965 : il y a exactement 2 339 solutions (à rotations et réflexions du rectangle près).

Le rectangle 5×12 possède 1 010 solutions, le rectangle 4×15 a 368 solutions, et le rectangle 3×20 a seulement 2 solutions.

D’autres casse-têtes consistent à reconstituer une formedonnée (animal, personnage, …) avec tout ou partie despièces, dans le même esprit que le Tangram

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