Activités proposées :

Manipulation :

Découverte :
0/ Poser le dispositif bien à plat et brancher le courant électrique
=>  normalement le dispositif est directement opérationnel.
1/ Prendre les trois billes et les poser contre les électro-aimants, elles doivent y adhérer.
2/ Observer que
* la piste de gauche descend et remonte (c’est la courbe dite “brachistochrone”),
* celle du milieu est la plus pentue possible pour donner à la bille un maximum de vitesse,
* celle de droite correspond au trajet le plus court.
3/ Appuyer sur le bouton et observer la descente des trois billes
3bis/ (optionnel) Appuyer sur le bouton en filmant (avec un smartphone ou équivalent) le roulement des trois billes, afin de faire l’analyse visuelle des temps.
Mesures et analyse qualitative :
4/ Aller sur le site web de contrôle (voir ici pour ajouter un réseau wifi), cliquer sur “get” et
relever les valeurs “T” des  “detected_times” en seconde,
mesurer aussi avec un mètre souple les longueurs “L” des trois pistes en mètre.
4bis/ (optionnel) Ouvrir la vidéo dans un logiciel d’édition vidéo comme  VLC (ou tout autre équivalent) et
+ positionner la vidéo juste avant le moment où on appuie sur le bouton, en mode pause
+ avancer “trame par trame” (c’est la touche “e” avec VLC, usuellement) et noter le temps exact (il s’affiche en seconde avec deux décimales)
+ refaire cela en positionnant la vidéo juste avant chaque passage devant un capteur
=> on pourra alors comparer ces mesures visuelles à celles produites par les capteurs eux-mêmes.
5/ Faire un tableau où on portera les longueurs parcourues “L” et les durées “T” de parcours, on calculera aussi le rapport “V = D / T” qui donne la vitesse moyenne des billes sur les trois parcours.
6/ Discuter qualitativement et commenter ce qui été observé, et essayer d’argumenter :
+ pourquoi ce n’est pas le trajet le plus court qui est le plus rapide,
+ pourquoi ce n’est pas le trajet où la bille a pris le plus de vitesse au départ qui est le plus rapide.
6bis/ (optionnel) Observer la vidéo et analyser qualitativement les vitesses des billes : la bille du milieu va-t-elle plus vite que celle des bords à un moment donné ? Si oui alors pourquoi n’est-elle jamais devant celle qui est sur le brachistochrone ?
Un peu de mathématiques pour aller plus loin :
7/ Analysons le parcours en ligne droite, en utilisant la loi “L(T) = 1/2 g sin(3.1416/180 alpha) T^2” où “g = 9.81 m/s^2” est la gravité et “alpha” l’angle de la piste en degré  :
– évaluer l’angle du plan incliné et regarder si les résultats correspondent à peu près à la théorie,
– il est probable que dans la réalité la bille roule un peu plus lentement que ce qui est prévu par la théorie : quelles pourraient en être les raisons ?
8/ Étude théorique du  brachistochrone : lire et analyser https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_brachistochrone et
– mesurer sur le dispositif la valeur “D” entre le point de départ et le moment ou la courbe passe à l’horizontale,
– prendre un photo de de profil de la piste en forme de brachistochrone et l’imprimer sur un papier,
– découper un cercle de papier de diamètre D dans du papier cartonné
pour reproduire le tracé de la cycloïde et voir qu’elle correspond bien à la piste construite.

Interface web  :

C’est une interface minimale qui permet de vérifier si l’objet est bien connecté et de récupérer les valeurs, ici seul le bouton “Get” est utilisé.

Comprendre le dispositif :

On s’intéresse ici à faire la rétro-ingénierie du logiciel du dispositif.
0/ Prendre connaissance du code setup_brachistochrone.cpp, même si vous ne programmez pas en C/C++ nous pouvons ensemble le lire et l’analyser.
1/ Observer le montage physique et noter les entrées et les sorties, voir où on les retrouvent dans le code
+ par exemple sur quel numéro d’entrée se trouve le bouton ?
2/ Essayons de comprendre le fonctionnement du bouton, indépendamment du code.
+ Quand on appuie sur le bouton que doit-il se passer au niveau de l’électro-aimant ?
+ Que faire pour que cela revienne ensuite à l’état initial, pour refaire la manipulation ?
3/ Essayons maintenant, ensemble de décoder ce qui se passe dans le code. La routine “handle_brachistochrone_button” est appelée quand on appuie sur le bouton
+ Que fait-elle ? (bien entendu vous pouvez accéder à la documentation de chaque routine “digitalWrite” ou là où “verbose” est implémenté, mais vous pouvez aussi vous fier à votre intuition.
4/ C’est la routine “handle_brachistochrone_run” qui est appelée quand on appuie sur le bouton :
+ Que fait-elle ? Au bout de combien de milli-secondes l’électro-aimant est remis en marche.
=> Regarder la routine “setInterval” pour bien comprendre ce qui se passe.

Le dispositif en fonctionnement :

On lance les billes et … voilà celle du milieu qui démarre plus vite que les autres mais en fin de course, celle de droite est allée bien plus bas accélérer pour augmenter sa vitesse pour ensuite pouvoir dépasser les deux autres.

Deux secondes de vidéos pour montrer le brachistochrone en action.

Construire le dispositif:

Tous les éléments sont ici et surtout nous sommes au contact sur cette plateforme pour vous aider !

• Construction mécanique : https://pixees.fr/brachistochrone/
• Construction électronique et logicielle : https://line.gitlabpages.inria.fr/aide-group/esp32brachistochrone/

Toboggan à billes: la ligne droite est-elle la plus rapide?

I-Présentation

Objectif

Laissons rouler une bille le long d’une courbe en pente comme sur la vidéo : quelle est la forme de courbe qui va permettre d’aller le plus vite ? Le calcul du mouvement d’un point matériel sur des trajectoires de courbures variées, pour savoir quel profil de trajectoire a le temps de parcours le plus court (on parle de brachistochrone) font appel à des méthodes mathématiques relativement difficiles qui relèvent du calcul des variations. Et le résultat est étonnant:il faut laisser la bille tomber assez bas pour qu’elle prenne de la vitesse avant de remonter ensuite :

Développons ici un exemple plus facile à réaliser mécaniquement, compréhensible par un étudiant ou un élève, et à partir duquel on peut montrer qu’il existe au moins une trajectoire sur laquelle la durée du trajet est plus courte que sur la trajectoire rectiligne. On considérera un point matériel glissant sans frottement.

Histoire

La résolution du problème de la courbe brachistochrone passionna les mathématiciens de la fin du xvii^e siècle. Il prend sa source dans une affirmation de Galilée en 1633, qui crut que la solution consistait en un arc de cercle. Cependant, Galilée ne disposait pas des méthodes qui permettaient d’apporter une solution. Jean Bernoulli pose clairement le problème en juin 1696 dans les Acta Eruditorum. Très rapidement, Leibniz propose une solution à Jean Bernoulli, mais sans qu’il reconnaisse la courbe en question. C’est Jean Bernoulli, qui reconnaît un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale. Tous deux décident de différer la publication de leurs solutions pour laisser à d’autres la possibilité d’aborder le problème. Celui-ci fut également résolu par Jacques Bernoulli⁷, frère de Jean, et par Newton.

En complément

• La vidéo Pause ta science
• Courbe brachistochrone
• Brachistochrone et calcul des variations
•  Une autre réalisation très parlante.

II-Construction

Plan de l’objet

Matériaux

•  Colle à bois
• 2 tasseaux 9x9mmx200cm
• 6 planche MDF 30x60cm
• 1 planche en bois 120x30cm
• 4 vis à bois de longueur 40mm
• 3 billes 1,5cm
• Outil: scie à métaux , imprimante laser (on en trouve souvent dans un FabLab)

 Nous avons trouvé tout le matériel dans un de ces magasins de bricolage usuels, sauf les billes que nous avons récupéré dans des jouets d’enfants.

Voici les plans que nous avons utilisés :

Montage

• Couper la planche en bois : 1 morceau de 60cm (A) , 1 morceau de 30cm (B), 1 morceau de 10cm (C)
• Positionner B sur A perpendiculairement et visser avec 2 vis
• Positionner C sur A perpendiculairement et visser avec 2 vis
• Couper les tasseaux : 6 morceaux de 20cm (D) , 3 morceaux de 30cm (E) , 3 morceaux de 56,2cm (F)
• Créer un fichier avec un logiciel vectoriel afin de dessiner les 3 courbes
• Imprimer les 3 courbes en 2 exemplaires sur les planches MDF
• Placer la planche MDF avec la courbe verte à 1 cm du bord de la structure afin de venir coller ( avec la colle à bois ) sur le flan : D en vertical et F en horizontal
• Coller avec la colle à bois E en horizontal et D en vertical sur l’autre flan de la planche MDF avec la courbe verte
• Coller avec la colle à bois la deuxième planche MDF avec la courbe verte sur les tasseaux E et D , précédemment collé
• Placer la planche MDF avec la courbe rouge à 1 cm de l’autre bord de la structure afin de venir coller ( avec la colle à bois ) sur le flan : D en vertical et F en horizontal
• Coller avec la colle à bois E en horizontal et D en vertical sur l’autre flan de la planche MDF avec la courbe rouge
• Coller avec la colle à bois la deuxième planche MDF avec la courbe rouge sur les tasseaux E et D , précédemment collé
• Placer la planche MDF avec la courbe jaune au milieu de la structure afin de venir coller ( avec la colle à bois ) sur le flan D en vertical et F en horizontal
• Coller avec la colle à bois E en horizontal et D en vertical sur l’autre flan de la planche MDF avec la courbe jaune
• Coller avec la colle à bois la deuxième planche MDF avec la courbe jaune sur les tasseaux E et D , précédemment collé

Ces quelques indications ne vous suivent pas ? Aucun souci : contactez-nous ! Nous serons enchanté·e·s de vous aider à réaliser ces objets.

III-Animation

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