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Nous nous sommes int\'eress\'es dans cette th\`ese \`a l'\'etude de
diff\'erentes m\'ethodes num\'eriques pour la r\'esolution du
syst\`eme de Maxwell instationnaire dans des milieux
h\'et\'erog\`enes. La plupart des sch\'emas que nous avons consid\'er\'es
sont bas\'es sur une int\'egration spatiale locale, et afin 
de respecter le caract\`ere h\'et\'erog\`ene du milieu de
propagation des ondes et la g\'eom\'etrie qui pourrait \^etre
quelconque, nous avons choisi les \'el\'ements du
maillage comme volumes d'int\'egration. 
Nous avons tout d'abord d\'evelopp\'e et test\'e
une m\'ethode de volumes finis, elle est
bas\'ee sur une discr\'etisation de type MUSCL en espace et une
int\'egration temporelle de type Runge-Kutta. Cette m\'ethode permet
d'obtenir des sch\'emas d'ordre \'elev\'e et nous avons constat\'e
qu'elle est bien adapt\'ee pour la r\'esolution de notre
probl\`eme. Nous l'avons compar\'ee \`a une autre m\'ethode volumes
finis du m\^eme type o\`u les volumes de contr\^ole sont par contre
des polygones  
centr\'es aux noeuds. Les diff\'erentes comparaisons ont montr\'e que
les deux m\'ethodes se valent dans le cas de mat\'eriaux homog\`enes.
Nous avons \'egalement adapt\'e une m\'ethode d'\'el\'ements finis
dite Galerkin Discontinu d\'evelopp\'ee initialement pour la
m\'ecanique des fluides. Cette m\'ethode permet \'egalement d'obtenir
des sch\'emas d'ordre \'elev\'e bas\'es sur le choix d'une base locale 
et des formules de quadrature. Les diff\'erents cas tests ont montr\'e 
que cette m\'ethode r\'epondait aux attentes. En effet, nous avons
retrouv\'e les r\'esultats obtenus par la m\'ethode volumes finis ou encore 
des r\'esultats analytiques. Nous l'avons par ailleurs compar\'ee \`a 
la m\'ethode volumes finis que nous avons d\'evelopp\'ee et nous avons 
constat\'e que du point de vue qualitatif les deux m\'ethodes sont
comparables. N\'eanmoins la diff\'erence r\'eside dans le temps de
calcul (CPU) o\`u nous avons constat\'e que la m\'ethode volumes finis
est moins co\^uteuse que la m\'ethode Galerkin Discontinu, mais cette
derni\`ere a l'avantage d'obtenir des r\'esultats sur des temps longs
de meilleure qualit\'e car elle est moins diffusive. En r\'esum\'e, on 
peut dire que sur des temps courts la m\'ethode volumes finis est
plus int\'eressante dans la mesure o\`u elle donne les m\^emes
r\'esultats avec un CPU plus faible, mais sur des temps longs, la
m\'ethode Galerkin Discontinu parait plus comp\'etitive.
Nous nous sommes ensuite int\'eress\'es \`a un autre type de m\'ethode 
volumes finis, o\`u le calcul du flux est bas\'e sur un sch\'ema
centr\'e et l'int\'egration en temps est de type saute-mouton. Nous
avons \'etabli un crit\`ere de stabilit\'e dans le cas de maillages
structur\'es et nous avons \'egalement effectu\'e une analyse de la
dispersion et de la diffusion num\'eriques. Les r\'esultats obtenus
montrent que cette m\'ethode est d'ordre deux en temps et en espace, et
qu'elle n'est pas diffusive. Par contre elle
 pr\'esente une dispersion num\'erique d'ordre deux. Nous avons
effectu\'e quelques cas tests et les r\'esultats num\'eriques obtenus
sont conformes aux r\'esultats th\'eoriques. Nous avons \'egalement
constat\'e que cette m\'ethode donne de bons r\'esultats dans le cas
de mat\'eriaux h\'et\'erog\`enes. Nous avons compar\'e cette m\'ethode 
dans un premier temps
\`a la m\'ethode volumes finis d\'evelopp\'ee au d\'ebut de ces
travaux dans le cas de maillages non structur\'es. Nous avons
remarqu\'e que les r\'esultats restent comparables sur des temps
courts, cependant vu le caract\`ere non diffusif de la derni\`ere
m\'ethode, elle donne des r\'esultats plus significatifs sur des temps 
longs. Elle pr\'esente \'egalement l'avantage d'\^etre moins co\^uteuse.
Dans un deuxi\`eme temps, nous l'avons
compar\'ee \`a la m\'ethode d\'evelopp\'ee par K.S.Yee qui
est une m\'ethode aux diff\'erences finies. Nous avons constat\'e que les
deux m\'ethodes donnent des r\'esultats de m\^eme qualit\'e. Nous
avons cependant des diff\'erences du point de vue CPU ; la m\'ethode
volumes finis est deux fois moins co\^uteuse, mais le sch\'ema de
Yee est moins dispersif. Nous avons compar\'e ces deux
m\'ethodes dans le cas de maillages structur\'es car la m\'ethode des
diff\'erences finies n'est pas adapt\'ee aux cas non structur\'es. Nous 
avons vu que le moyen d'exploiter les avantages des deux m\'ethodes
volumes finis et diff\'erences finies consiste \`a hybrider les deux sch\'emas.
Nous avons montr\'e par une analyse th\'eorique que
le sch\'ema hybride obtenu du couplage est un sch\'ema stable et non
diffusif. En fait, ce sch\'ema garde les m\^emes caract\'eristiques
num\'eriques que les sch\'emas utilis\'es pour ce couplage, et permet 
de b\'en\'eficier des avantages des deux m\'ethodes.
Nous avons impl\'ement\'e la m\'ethode 
dans le cas simple de maillages structur\'es et nous avons effectu\'e
quelques cas 
tests
 afin de v\'erifier les r\'esultats th\'eoriques. A travers l'analyse des diff\'erentes
m\'ethodes vues dans cette th\`ese, nous pouvons d\'eduire que chacune 
pr\'esente des avantages et des inconv\'enients 
%compar\'ees les unes aux autres 
concernant la qualit\'e des r\'esultats num\'eriques et le
temps de calcul. Cependant la nouvelle m\'ethode volumes finis
pr\'esente le meilleur compromis entre la qualit\'e des
solutions et le co\^ut de calcul. L'une des perspectives de ce travail 
est d'\'etendre cette m\'ethode au cas tridimensionnel avec un maillage
hybride structur\'e/non structur\'e, ce qui permettra l'utilisation
de couches PML dans la partie structur\'ee. Des simulations
num\'eriques tridimensionnelles permetterons de
valider les r\'esultats obtenus en 2D.
%
%et il semble que la m\'ethode la plus optimale en
%terme de compromis entre la qualit\'e des solutions et le co\^ut de
%calcul est la m\'ethode hybride qui permet en effet 
%d'exploiter les avantages de deux m\'ethodes qui est dans notre cas le
%sch\'ema volumes finis et la m\'ethode des diff\'erences finies.
%L'une des perspectives est d'\'etendre
%ce couplage au cas de  g\'eom\'etries complexes en trois dimensions
%d'espace avec un maillage
%hybride structur\'e/non structur\'e. Ce qui permettra l'utilisation du 
%sch\'ema volumes finis dans la partie non structur\'ee, notamment
%autour de couches de di\'electriques, et aussi la possibilit\'e
%d'utiliser des couches PML dans la partie structur\'ee o\`u est
%appliqu\'e le sch\'ema de Yee.
