Résumé

Il s'agit d'étudier un problème classique du contrôle non destructif : La détection d'une fissure à l'intérieur d'une structure, à l'aide de données sur le bord extérieur de l'objet étudié.

L'approche réside en une reformulation du problème 2D, sous forme d'un problème d'approximation rationnelle. Pour cela, on se dote de données harmoniques (thermiques, électrostatiques...) mesurées sur le bord. En utilisant le lien (désormais classique) entre la théorie des fonctions harmoniques et l'analyse complexe, on construira sur le bord de l'objet une fonction f à partir de données mesurées de type Dirichlet-Neumann (par exemple : la température d'une part, et le flux de chaleur à travers la frontière d'autre part).

Une fois cette fonction f construite sur le bord, nous montrerons que celle-ci est la trace sur celui-ci d'une fonction analytique dans toute la structure, sauf sur la fissure (que l'on supposera isolante pour les quantités considérées). Nous verrons alors comment obtenir une information sur la présence et la localisation de la fissure par une étude des meilleurs approximants rationnels ou méromorphes (selon certaines normes) de la fonction f.

Plus particulièrement, nous verrons comment l'étude des approximants méromorphes pour la norme $L^\infty$ (méthode d'Adamjan-Arov-Krein) et les approximants rationnels pour la norme L² se ramène à l'étude d'une relation particulière : une équation d'orthogonalité dite "non hermitienne".