Notations

Posons quelques notations préliminaires.
Soient

$\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:\vert z\vert<1\}$ le disque unité.

$\mathbb{T}=\{z\in\mathbb{C}:\vert z\vert=1\}$ le cercle unité.

Pour tout polynôme

$$P(z)=\sum_{j=0}^{n}{p_j z^j}$$ (5.1)

à coefficients complexes, on notera son polynôme réciproque

$$\widetilde{P}(z)=\sum_{j=0}^{n}\overline{p_j}z^{n-j}.$$ (5.2)

On designera par $C(\mathbb{T})$ l'espace des fonctions continues sur $\mathbb{T}$à valeurs complexes.
Dans la mesure où nous allons principalement travailler dans le disque unité, on notera dans la suite $L^{2}=L^{2}(\mathbb{T})$, l'espace de Hilbert usuel des fonctions f(z) Lebesgue mesurables à valeurs complexes sur $\mathbb{T}$ telles que

$$\Vert f\Vert^{2}_{2}=\, \int_{0}^{2\pi}\left\vert f(e^{i\theta})\right\vert^{2}\,\frac{d\theta}{2\pi}<\infty$$ (5.3)

muni du produit scalaire usuel

$$<f,g>=\int_{0}^{2\pi}{f(e^{i\theta})\overline{g(e^{i\theta})}\frac{d\theta} {2\pi}}.$$ (5.4)

De même, on désignera par $L^\infty$ l'espace de Banach $L^{\infty}(\mathbb{T})$ des fonctions f(z) à valeurs complexes essentiellement bornées sur $\mathbb{T}$ muni de la norme

$$\Vert f\Vert _{\infty}={\rm ess} \sup_{\vert z\vert=1}\vert f(z)\vert.$$ (5.5)

En notant la décomposition de Fourier de la fonction f comme

$$f(z)=\sum_{k \in \mathbb{Z}}f_{k}z^k,$$ (5.6)

on posera $\overline{f}$ la fonction

$$\overline{f}(z)=\sum_{k \in \mathbb{Z}}\overline{f_k}z^{k}.$$ (5.7)

On définira aussi H^p (p=2 ou $\infty$) comme le sous-espace fermé de L^p suivant :

$$H^p=H^p(\mathbb{D})=\{f \in L^p : f_{k}=0 {\rm~~pour~~} k<0\}.$$ (5.8)

Il est un résultat bien connu [50, ch. 13] que toute fonction f de H² s'étend de manière analytique à $\mathbb{D}$, ce qui est aussi valable pour $H^\infty$ puisque $H^\infty \subset H^2$ ; Notons la caractérisation équivalente suivante :

$$f(z)=\sum_{k \in \mathbb{Z}}f_{k}z^k\,\in\,H^p \ \ {\rm~~si~~... ..._{0<r<1}{\left\Vert f(re^{i\theta})\right\Vert _{p}} < \infty,$$ (5.9)

et la trace de f sur le cercle unité $\mathbb{T}$ est alors obtenue comme limite non tangentielle presque partout. Il est également classique que toute fonction f non nulle de l'espace de Hardy H² se décompose de manière unique en f=jw où

$$w(z)=\exp\left\{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{e ^{i\theta}... ...e^{i\theta}-z}\log\vert f(e ^{i\theta})\vert\, d\theta\right\}$$ (5.10)

appartient à H² et est appelé le facteur extérieur de fcependant que $j\in H^\infty$ est de module 1 presque partout sur $\mathbb{T}$et s'appelle le facteur intérieur de f. Ce dernier peut lui-même se décomposer en j=bS où

$$b(z)=cz^k\prod_{z_l\neq0}\frac{{-\bar z}_l}{\vert z_l\vert}\,\frac{z-z_l}{1-{\bar z}_lz}$$ (5.11)

est le produit de Blaschke avec un zéro d'ordre k à l'origine associé à la suite de points $z_l\in \mathbb{D}\setminus\{0\}$ et à la constante $c\in\mathbb{T}$, cependant que

$$S(z)=\exp\left\{-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{e ^{i\theta}+z} {e^{i\theta}-z}\, d\mu(\theta)\right\}$$ (5.12)

est le facteur singulier associé à la mesure positive $\mu$ qui est singulière par rapport à la mesure de Lebesgue. Les z_l sont bien sûr les zéros de $\mu$ comptés avec leur multiplicité. S'il y en a une infinité, la convergence de bdans $\mathbb{D}$ est assurée par la condition

$$\sum_l {(1-\vert z_l\vert)} < \infty$$ (5.13)

qui résulte automatiquement du fait que $\log \vert f\vert \in L^1(\mathbb{T})$. Lorsque f est analytique à travers le disque  $\mathbb{T}$, $\mu$ est nulle et S vaut identiquement 1 (cf. [46,30]).
On notera par ailleurs $\overline{H^2}$ le complémentaire orthogonal de H² dans L² et l'on notera $P_{\overline{H^{2}}}:L^2 \rightarrow \overline{H^2}$ l'opérateur de projection sur $\overline{H^2}$, ainsi que $P_{H^{2}}:L^2 \rightarrow H^2$la projection sur H².
Enfin, pour p=2 ou $\infty$, on désignera par H^p_N l'espace H^p + R_N, où R_N est l'espaces des fractions rationnelles de degré au plus N et ayant tous leurs pôles dans  $\mathbb{D}$ et s'annulant à l'infini (donc $R_N \subset \overline{H^2}$).