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Configuration singulières

Les mécanismes articulés ont, en général deux (ou plus) branches pour une position de l'entrée. Ainsi pour les robots série, si l'on fixe la base et la configuration de l'organe terminal on trouve deux branches correspondant aux configurations "coude en haut" et "coude en bas". Ces branches peuvent devenir confondue si leurs terminaisons sont confondues ou s'éloigne l'une de l'autre. Dans ce cas on dit que le manipulateur est en configuration singulière. Les conditions de configurations singulières peuvent s'exprimer de trois manières:

• algébriquement : le système d'équations entrée-sortie admet localement plus d'une solution.
• géométriquement : on coupe artificiellement une articulation en deux et l'on considère les déplacements de la terminaison de ces deux branches correspondante à l'articulation (si la branche ne compte qu'un segment on suppose que l'autre terminaison est articulé). Une configuration singulière sera obtenue lorsque les courbes (ou surfaces) décrites par ces deux terminaisons deviennent tangentes.
• statiquement : lorsque les cha^nes qui forment les branches sont en état d'équilibre mécanique transitoire.

De ces considérations il est assez aisé de déduire les configurations singulières des robots série.

Cela est moins évident pour les robots parallèles. Par exemple si l'on considère le cas du TSSM quelles sont les conséquences des définitions des configurations singulières? Le système d'entrée-sortie est ici les 6 équations fournies par la cinématique inverse qui relie les longueurs des segments aux coordonnées cartésiennes , qui sont de la forme : En utilisant le théorème du rang nous savons qu'au voisinage d'une solution la solution du système précédent est unique si sa matrice jacobienne est non singulière, avec : On se rend compte alors que la matrice est en fait la jacobienne inverse du manipulateur . Si l'on adopte le point de vue statique on va utiliser la relation : reliant les forces exercées sur l'organe terminal aux forces articulaires . L'équilibre transitoire est obtenu lorsqu'il existe un état de force externe qui ne peut être équilibré par les forces articulaires. On obtient donc à nouveau une condition sur la non singularité de la matrice .

Disposant des relations de la cinématique inverse il est aisé de dériver la matrice inverse jacobienne dans le but d'obtenir les coordonnées cartésiennes des configurations singulières. Mais ceci ne signifie pas que nous sommes tiré d'affaire car cette matrice, de dimension 6, est relativement complexe, son inversion symbolique pour le moins délicate, quant à trouver les solutions du polynôme multi-variable que constitue son déterminant....

La géométrie nous donne une solution assez élégante même si elle ne permet pas de résoudre le problème pour tous les manipulateurs. Il faut d'abord se rendre compte que les lignes de la matrice sont en fait les coordonnées de Plücker des lignes associées aux segments. La singularité de la matrice est obtenue lorsque ces vecteurs sont linéairement dépendants. Mais il existe une géométrie, dite de Grassmann, qui permet de trouver la condition de dépendance de tels vecteurs non pas de manière algébrique mais de manière géométrique à partir des droites associées. Par exemple si l'on considère un ensemble de trois droites les vecteurs de Plücker associés seront linéairement dépendants, si et seulement si, les 3 droites sont coplanaires et passent par le même point. Pour un manipulateur donné il suffit donc d'examiner dans quelles configurations du plateau mobile les différentes conditions de Grassmann sont satisfaites. On ramène ainsi le problème à une collection de sous-problèmes géométriques parfois facile à résoudre : c'est le cas par exemple pour le TSSM.