5 Fonction d'évaluation

Soit une fonction $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ de ${\cal R}^n~~$ dans ${\cal R}$

la fonction d'évaluation ${\large F}$ de ${\large f}$:

$$F(X_1,X_2,\ldots,X_n)={\cal Y}=[\underline{y},\overline{y}]$$

est telle que:

$$\forall x_1 \in X_1,\ldots x_n \in X_n ~~~\underline{y} \le f(x_1,\ldots,x_n) \le \overline{y}$$

En d'autres termes la fonction d'évaluation permet de calculer un minorant et un majorant de la fonction ${\large f}$.

Une fonction d'évaluation est:

• convergente: si
  $\lim_{k\rightarrow \infty} w(X_k)=0 \Rightarrow \lim_{k\rightarrow \infty} w(F(X_k)) =0$
• minimale: s'il existe
  $X^m=\{x_1^m,\ldots,x_n^m\}$ et $X^M=\{x_1^m,\ldots,x_n^m\}$ tel que $F(X^m)=\underline{F}$ et $F(X^M)=\overline{F}$
• monotone pour l'inclusion: si $X \subset Y \Rightarrow F(X) \subset F(Y)$. A noter qu'une évaluation convergente n'est pas forcément monotone pour l'inclusion

Une fonction d'évaluation peut être convergente, minimale pour les intervalles théoriques et ne pas l'être pour les intervalle pratiques.

Exemple:
$f(x)=x$ est convergente, minimale pour les intervalles théoriques mais pas pour les intervalles pratiques: $f([0.1,0.1]) \not= 0.1$

$f=\{f_1, \ldots, f_n\}$ est convergente si tous les $f_i$ sont convergentes