Définitions et Notations 2/3

Simulation et Optimisation des processus ponctuels marqués

Un processus ponctuel marqué $X$ est entièrement décrit par la donnée de sa densité non normalisée $f(\mathbf{x})$ par rapport à la mesure de référence, en pratique la mesure de probabilité d'un processus homogène de Poisson. Echantillonner le processus n'est pas évident, et requiert l'utilisation d'algorithmes de type MCMC, convergeant vers une distribution d'équilibre $\mathcal{P}_{\mathit{X}}(d\mathbf{x})$ définie par :

$$\mathcal{P}_{\mathit{X}}(d\mathbf{x})=\frac{1}{Z}f(\mathbf{x})\mu(d\mathbf{x})=\frac{1}{Z}\exp(-U(\mathbf{x}))\mu(d\mathbf{x})$$ (4)

où $Z$ est une constante de normalisation, et $U(\mathbf{x})$ l'énergie d'une configuration $\mathbf{x}$.

En pratique, notre but est de trouver le Maximum A Posteriori (estimateur MAP) de cette densité, qui est aussi le minimum de l'énergie de Gibbs associée. Un schéma classique de recuit simulé peut ètre adapté afin d'obtenir une bonne estimation de cette configuration optimale.