Champs de Markov

Une famille de variables aléatoires $\Sigma$ est dit être un champ de Markov sur S par rapport à un système de voisinage si et seulement si : $$P(\sigma)> 0,\forall \sigma \in \Sigma$$

$$P(\sigma_i\vert\sigma_{S-\{i\}})=P(\sigma_i\vert f_{Ni}), \forall \sigma \in \Sigma$$

avec : $f_{Ni}=\{\sigma_{i'}\vert i'\in N_i\}$  système de voisinage

Système de voisinage pour un champ de Markov d'ordre 1 et cliques de cardinal inférieur ou égal à 2 associées :

Théorème de Hammersley-Clifford : Un Champs de Markov peut s'écrire sous la forme d'un champs de Gibbs

$$P_T(\sigma )=Z_{T}^{-1}\times e^{-\frac {1}{T}U(\sigma)}$$

$$U(\sigma)=\sum_CV_C$$

Octobre 1998