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Echantillonneur de Geman & Yang modifié

On utilise un développement semi-quadratique de :

variable auxiliaire b, images auxiliaires Bx et By (gradients sur x et y)

échantillonnage de triplets (X, Bx, By) de manière alternée sur X et Bx, By

les pixels de Bx et By sont indépendants
      et la proba. de X sachant Bx, By est gaussienne

le tirage de X s'effectue en une seule fois (contrairement à Gibbs et Metropolis),
        le traitement est indépendant de la taille du voisinage,
        ce qui en fait un algorithme rapide pour échantillonner la distribution a posteriori

Distribution a posteriori  
Algorithme de Geman & Yang modifié - a posteriori
Initialisation :
On calcule d'abord la transformée de Fourier F[h4 ] et DCT[Y], ainsi que W : 
 On initialise avec l'image restaurée par l'algorithme ICM-DCT : X0 = .
Tirage de Bx,By à X fixé
Tous les pixels b de Bx et By sont indépendants : 
Tirage de X à Bx,By fixés
la distribution de X sachant B est gaussienne car 
 
$\rightarrow$ diagonalisation de la matrice de covariance  
          par une transformée en cosinus (DCT) 
          qui permet de respecter les conditions aux bords symétriques 
 
où R est une image dont chaque pixel est une variable aléatoire 
gaussienne de variance 1/2.
 
Exemple (imagette 64x64) :
 
X0
 initialisation 
X0 = 
X$\rightarrow$B
 
 Bx 0, By 0 
 
 
B$\rightarrow$X
 itération 1
X1
 
X$\rightarrow$B
 
Bx 1, By 1
 
 
B$\rightarrow$X
itération 2
X2
 
 
etc.
Ni itérations d'initialisation avant d'atteindre
la distribution d'équilibre
 
 

Distribution a priori 

Algorithme de Geman & Yang modifié - a priori
Initialisation :
On calcule d'abord la transformée de Fourier F[h4 ], ainsi que W0 : 
On initialise par une image constante : X0 = 0.
Tirage de Bx,By à X fixé
Tous les pixels b de Bx et By sont indépendants : 
Tirage de X à Bx, By fixés
la distribution de X sachant B est gaussienne car 
  
$\rightarrow$ diagonalisation de la matrice de covariance  
          par une transformée en cosinus (DCT) 
          qui permet de respecter les conditions aux bords symétriques 
 
où R est une image dont chaque pixel est une variable aléatoire 
gaussienne de variance 1/2.
 
 Exemple (échantillon 64x64) :
 
X0
 initialisation 
X0 = 0
X$\rightarrow$B
 
 Bx 0, By 0 
 
 
B$\rightarrow$X
 itération 1
X1
 
X$\rightarrow$B
 
Bx 1, By 1
 
 
B$\rightarrow$X
itération 2
X2
 
 
etc.
Ni itérations d'initialisation avant d'atteindre
la distribution d'équilibre
 
 
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André Jalobeanu - 18 / 8 / 1998