\newpage
{\bf Titre : M\'ethodes num\'eriques pour les \'equations de maxwell
instationnaires en milieu h\'et\'erog\`ene}
\small{
\begin{center}
{\bf R\'esum\'e}
\end{center}
La premi\`ere partie de ce travail est consacr\'ee \`a la
d\'emonstration d'un th\'eor\`eme d'existence et d'unicit\'e de la
solution du syst\`eme de Maxwell dans le cas g\'en\'eral, o\`u les
coefficients sont des tenseurs sym\'etriques d\'efinis positifs, qui
d\'ependent d'une fa\c con non r\'eguli\`ere de la variable
d'espace. Dans ces conditions, le milieu de propagation pourrait
\^etre aussi bien isotrope qu'anistrope. Dans la seconde partie, nous
nous sommes int\'eress\'es \`a l'\'etude et au d\'eveloppement de
plusieurs m\'ethodes num\'eriques dans un domaine isotrope o\`u les
coefficients peuvent \^etre discontinus ; nous avons \'etudi\'e deux
m\'ethodes de type volumes finis, une bas\'ee sur un calcul de
flux d\'ecentr\'es, et l'autre bas\'ee sur un calcul de flux 
centr\'es. Nous avons \'egalement adapt\'e une m\'ethode d'\'el\'ements 
finis dite Galerkin Discontinue, et enfin une m\'ethode hybride
volumes finis / diff\'erences finies avec une \'etude de stabilit\'e
de cette derni\`ere. 
%Le point commun \`a toutes ces
%m\'ethodes est l'utilisation de sch\'emas en espace bas\'es sur une
%int\'egration locale, dans tout le domaine de calcul en ce qui concerne 
%les m\'ethodes Galerkin Discontinue et volumes finis, et dans une
%partie du domaine en ce qui concerne la m\'ethode hybride, ce qui nous 
%permet d'utiliser des maillages non structur\'es. 
Pour des
raisons g\'eom\'etriques, nous avons chosi les \'el\'ements du
maillage comme volumes d'int\'egration. De nombreuses validations et
comparaisons num\'eriques ont montr\'e que ces m\'ethodes sont bien
adapt\'ees au cas h\'et\'erog\`ene. 
%syst\`eme de Maxwell dans un milieu h\'et\'erog\`ene. 
%Compar\'ees les unes aux autres, les diff\'erentes m\'ethodes
%pr\'esentent des avantages et 
%des inconv\'enients en terme de temps de calcul et de qualit\'e des
%r\'esultats num\'eriques en particulier sur des temps
%longs. 
N\'eanmoins, 
il semble que la m\'ethode volumes finis avec flux 
centr\'es et une discr\'etisation temporelle de type saute-mouton est la plus
optimale en terme de compromis entre la qualit\'e des r\'esultats et
le co\^ut en temps de calcul}.\\
\small{
{\bf Mots cl\'es : } \'electromagn\'etisme - existence  - unicit\'e -
volumes finis - Galerkin Discontinue - hybride - stabilit\'e.}\\
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{\bf Title : Numerical Methods for Solving Maxwell's Equations in
Heterogeneous Media}
\begin{center}
{\bf Abstract}
\end{center}
\small{
The first part of this work is devoted to the derivation of the
existence and uniqueness of the solution of Maxwell's system when the
parmeability and the permittivity matrix belong to $L^{\infty}$ are
symetric, positive definite. In the second part, we develop and study several
numerical methods for Maxwell's system in isotropic and heterogeneous
media; we developed two types of finite volume methods, the first one
is based on an upwind scheme in space discretization, and the second
one is based on a centered flux formula. We have also extend a finite
element method called Discontinuous Galerkin method to solve our
problem, and lastly we construct a hybrid finite volume / finite
difference scheme and a stability analysis is presented. 
%almost
%of these methods are derived on integrating 
%the basic equations over a grid cell and construct discrete
%approximations for the resulting integral terms, which is provide a
%very natural way to use unstructured meshes. 
Several numerical
experiments and comparisons are performed, and we deduce that these
methods are well suited for solving Maxwell's system in an heterogeneous 
medium. 
%The comparisons between these several methods show that some of 
%them give better numerical results after a long time, and others
%give a better CPU performance. 
However, the finite volume  method
which uses centred flux and leapfrog scheme for time discretization seems to be
the most appropriate method to obtain the better compromise between
the quality of the solution and the CPU time.}\\
%
{\bf key words : } electromagnetism - existence - uniqueness - finite
volumes - Discontinuous Galerkin - hybrid - stability. 
